ГДЗ до вправи 41.20 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 41.20
У трапеції менша основа й бічні сторони дорівнюють $a$. Якою має бути більша основа трапеції, щоб площа трапеції була найбільшою?
Розв'язок вправи № 41.20
Коротке рішення
1) Розглянемо рівнобічну трапецію $ABCD$. Нехай $BC = AB = CD = a$. Опустимо висоти $BF$ та $CM$ на основу $AD$. Нехай $MD = x$. Тоді $AF = x$, а більша основа $AD = a + 2x$.
2) Висота трапеції $h = CM = \sqrt{CD^2 - MD^2} = \sqrt{a^2 - x^2}$. Обмеження: $x \in (0; a)$.
3) Площа трапеції: $S(x) = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{a + (a + 2x)}{2} \cdot \sqrt{a^2 - x^2} = (a + x)\sqrt{a^2 - x^2}$.
4) Дослідимо функцію $f(x) = S^2(x) = (a + x)^3(a - x)$. Похідна: $f'(x) = 3(a + x)^2(a - x) - (a + x)^3 = (a + x)^2(2a - 4x)$.
5) $f'(x) = 0 \Rightarrow 2a - 4x = 0 \Rightarrow x = 0,5a$. Це точка максимуму на $(0; a)$.
6) Довжина більшої основи: $AD = a + 2 \cdot 0,5a = 2a$.
Відповідь: $2a$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Виражаємо площу трапеції через довжину проекції бічної сторони на основу. Отримана функція дозволяє знайти такий кут нахилу бічних сторін, при якому площа є максимальною. Теорія: Похідна та екстремальні геометричні величини.
- Позначаємо невідомий відрізок осі через $x$. Це дозволяє використовувати теорему Піфагора для знаходження висоти.
- Формула площі трапеції $S = \frac{a+b}{2}h$ стає функцією однієї змінної $x$.
- Критична точка $x = \frac{a}{2}$ вказує на те, що бічна сторона має бути нахилена під кутом $60^\circ$ до осі, а сама трапеція стає "половиною" правильного шестикутника.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.