ГДЗ до вправи 41.19 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 41.19
Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 48 см. Якою має бути довжина основи трикутника, щоб його площа набувала найбільшого можливого значення?
Розв'язок вправи № 41.19
Коротке рішення
1) Нехай бічна сторона трикутника $AB = BC = x\text{ см}$. Тоді основа $AC = 48 - 2x\text{ см}$. За нерівністю трикутника $2x > 48 - 2x$, отже $x \in (12; 24)$.
2) Висота $h$, проведена до основи: $h = \sqrt{x^2 - \left(\frac{48-2x}{2}\right)^2} = \sqrt{x^2 - (24-x)^2} = \sqrt{48x - 576}$.
3) Площа трикутника: $S(x) = \frac{1}{2} \cdot (48-2x) \cdot \sqrt{48x-576} = (24-x)\sqrt{48x-576}$.
4) Для пошуку максимуму дослідимо функцію $f(x) = S^2(x) = 48(24-x)^2(x-12)$. Похідна: $f'(x) = 144(24-x)(16-x)$.
5) Критична точка на інтервалі: $x = 16$. Оскільки $f'(x) > 0$ при $x < 16$ та $f'(x) < 0$ при $x > 16$, то $x = 16$ — точка максимуму.
6) Довжина основи: $AC = 48 - 2 \cdot 16 = 16\text{ см}$.
Відповідь: 16 см.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Площа трикутника буде найбільшою, коли він є правильним (рівностороннім). Математично це доводиться через дослідження функції площі, вираженої через бічну сторону. Теорія: Задачі на знаходження найбільшого значення площі.
- Визначаємо область допустимих значень змінної $x$ на основі властивостей сторін трикутника.
- Складаємо цільову функцію площі. Для зручності диференціювання можна розглядати квадрат площі, оскільки вони досягають максимуму в одній точці.
- Аналіз похідної підтверджує, що найбільшу площу серед рівнобедрених трикутників із заданим периметром має рівносторонній трикутник ($AB = BC = AC = 16$).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.