ГДЗ до вправи 41.29 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) ОДЗ рівняння: $3 \le x \le 5$. Дослідимо ліву і праву частини рівняння окремо.

2) Нехай $f(x) = \sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 3}$. Знайдемо найбільше значення $f(x)$ за допомогою похідної: $f'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{5-x}} + \frac{1}{2\sqrt{x-3}}$.

$f'(x) = 0 \Rightarrow \sqrt{x-3} = \sqrt{5-x} \Rightarrow x - 3 = 5 - x \Rightarrow x = 4$.

Значення $f(4) = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 2$. Оскільки на кінцях ОДЗ $f(3) = f(5) = \sqrt{2} < 2$, то $\max f(x) = 2$. Тобто $f(x) \le 2$.

3) Розглянемо праву частину $g(x) = x^2 - 8x + 18$. Виділимо повний квадрат: $g(x) = (x^2 - 8x + 16) + 2 = (x - 4)^2 + 2$.

Оскільки $(x - 4)^2 \ge 0$, то $g(x) \ge 2$, причому $g(x) = 2$ тільки при $x = 4$.

4) Рівняння $f(x) = g(x)$ має розв’язок лише тоді, коли обидві частини одночасно дорівнюють 2. Це відбувається при $x = 4$.

Відповідь: 4.

• Визначаємо область допустимих значень, щоб розуміти проміжок дослідження.
• Знаходимо критичну точку лівої частини. Рівність значень під коренями вказує на симетрію функції відносно $x=4$.
• Аналіз правої частини показує, що вершина параболи має таку ж абсцису ($x=4$) і таку ж ординату ($y=2$), як і максимум лівої частини.
• Єдиною спільною точкою графіків є точка дотику в їхньому екстремумі.