До змісту

ГДЗ до вправи 42.1 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 42.1

Знайдіть другу похідну функції:

1) y=x2−2x+5y = x^2 - 2x + 5;

2) y=1xy = \frac{1}{x};

3) y=xy = \sqrt{x};

4) y=cos⁡xy = \cos x;

5) y=(2x−1)5y = (2x - 1)^5;

6) y=cos⁡2xy = \cos^2 x;

7) y=sin⁡x4y = \sin \frac{x}{4};

8) y=xsin⁡xy = x \sin x.

Розв'язок вправи № 42.1

Коротке рішення

1) y′=2x−2⇒y′′=2y' = 2x - 2 \Rightarrow y'' = 2.

2) y′=−1x2⇒y′′=2x3y' = -\frac{1}{x^2} \Rightarrow y'' = \frac{2}{x^3}.

3) y′=12x=12x−12⇒y′′=−14x−32=−14xxy' = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow y'' = -\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}.

4) y′=−sin⁡x⇒y′′=−cos⁡xy' = -\sin x \Rightarrow y'' = -\cos x.

5) y′=5(2x−1)4⋅2=10(2x−1)4⇒y' = 5(2x - 1)^4 \cdot 2 = 10(2x - 1)^4 \Rightarrow
y′′=40(2x−1)3⋅2=80(2x−1)3y'' = 40(2x - 1)^3 \cdot 2 = 80(2x - 1)^3.

6) y′=2cos⁡x(−sin⁡x)=−sin⁡2x⇒y′′=−2cos⁡2xy' = 2 \cos x (-\sin x) = -\sin 2x \Rightarrow y'' = -2 \cos 2x.

7) y′=14cos⁡x4⇒y′′=−116sin⁡x4y' = \frac{1}{4} \cos \frac{x}{4} \Rightarrow y'' = -\frac{1}{16} \sin \frac{x}{4}.

8) y′=sin⁡x+xcos⁡x⇒y′′=cos⁡x+cos⁡x−xsin⁡x=2cos⁡x−xsin⁡xy' = \sin x + x \cos x \Rightarrow y'' = \cos x + \cos x - x \sin x = 2 \cos x - x \sin x.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Друга похідна функції — це похідна від її першої похідної, тобто y′′=(y′)′y'' = (y')'. Для складних функцій та тригонометрії важливо послідовно застосовувати таблицю похідних. Теорія: Друга похідна та її геометричний зміст.

  • У прикладах 2 та 3 зручно подавати функцію у вигляді степеня xnx^n перед диференціюванням.
  • У пункті 5 застосовано правило похідної складеної функції: f(g(x))′=f′(g)⋅g′f(g(x))' = f'(g) \cdot g'.
  • У пункті 6 використано формулу подвійного аргументу для спрощення першої похідної перед подальшим кроком.
  • У пункті 8 використано правило добутку: (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'.

Популярне у 10 класі