ГДЗ до вправи 44.67 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin^2 x - (3a - 3) \sin x + a(2a - 3) = 0$

Нехай $\sin x = t, t \in [-1; 1] \Rightarrow t^2 - (3a - 3)t + 2a^2 - 3a = 0$

$D = (3a - 3)^2 - 4(2a^2 - 3a) = 9a^2 - 18a + 9 - 8a^2 + 12a =$
$= a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$

$t_1 = \frac{3a - 3 + a - 3}{2} = 2a - 3$; $t_2 = \frac{3a - 3 - (a - 3)}{2} = a$

Рівняння має корені, якщо $|a| \leqslant 1$ або $|2a - 3| \leqslant 1$

$-1 \leqslant a \leqslant 1$ або $1 \leqslant a \leqslant 2 \Rightarrow a \in [-1; 2]$

Відповідь: $[-1; 2]$

---

2) $\cos^2 x + 2 \cos x + a^2 - 6a + 10 = 0$

$(\cos^2 x + 2 \cos x + 1) + (a^2 - 6a + 9) = 0$

$(\cos x + 1)^2 + (a - 3)^2 = 0$

$\begin{cases} \cos x + 1 = 0 \\ a - 3 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \cos x = -1 \\ a = 3 \end{cases}$

Рівняння має корені лише при $a = 3$.

Відповідь: 3

• У першому пункті ми розв'язали квадратне рівняння відносно $\sin x$. Отримали два значення для параметра. Об'єднання умов перебування коренів на відрізку $[-1; 1]$ дає суцільний проміжок $[-1; 2]$.
• У другому пункті використано метод виділення повних квадратів. Сума двох невід'ємних виразів дорівнює нулю лише тоді, коли кожен із них дорівнює нулю. Це накладає суворе обмеження на параметр $a$.