ГДЗ до вправи 44.70 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$\sin^2 x - (2a + 3) \sin x + a^2 + 3a + 2 = 0 \Rightarrow$
$(\sin x - (a+1))(\sin x - (a+2)) = 0$

Корені: $\sin x = a+1$ та $\sin x = a+2$.

1) $[0; \pi] \Rightarrow \sin x \in [0; 1]$. Один корінь при $\sin x = 1$ або якщо один корінь у межах, а інший ні.

Відповідь: $a = 0$

---

2) $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}) \Rightarrow \sin x \in (-1; 0,5)$. 1 корінь для кожного $k \in (-1; 0,5)$.

Відповідь: $a \in (-3; -2] \cup [-1,5; -0,5)$

---

3) $[0; \frac{\pi}{2}] \Rightarrow \sin x \in [0; 1]$. 1 корінь для кожного $k \in [0; 1]$.

Відповідь: $a \in [-2; -1) \cup (-1; 0]$

---

4) $[\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}] \Rightarrow \sin x \in [0,5; 1]$. 2 корені при $k \in [0,5; 1)$.

Відповідь: $a \in [-1,5; -1) \cup [-0,5; 0)$

---

5) $[0; 2\pi) \Rightarrow 3$ корені, якщо один дає 1 корінь ($\pm 1$), а інший 2.

Відповідь: $a = -1, a = -2$

---

6) $(-\frac{\pi}{6}; \frac{4\pi}{3}) \Rightarrow 4$ корені, якщо обидва значення дають по 2 корені.

Відповідь: $a \in (-1,5; -1)$

• Рівняння зводиться до квадратного відносно $\sin x$. Розкладання на множники дає два можливі значення для синуса, що відрізняються на одиницю.
• Для кожного пункту ми визначаємо діапазон значень $\sin x$ на заданому інтервалі та кількість точок перетину горизонтальної прямої з графіком.
• Наприклад, у п'ятому пункті, щоб отримати рівно 3 корені, одне з значень синуса має бути екстремальним ($1$ або $-1$), що дає 1 корінь на повному періоді, а інше — лежати в інтервалі $(-1; 1)$, що дає 2 корені.