ГДЗ до вправи 44.80 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = \frac{7}{4}$

$\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} = \frac{7}{4}$

$4 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = 3,5 \Rightarrow$
$\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = -0,5$

$2 \cos 5x \cos 3x + 2 \cos 5x \cos x = -0,5 \Rightarrow$
$2 \cos 5x (\cos 3x + \cos x) = -0,5$

$4 \cos 5x \cos 2x \cos x = -0,5 \Rightarrow 8 \sin x \cos x \cos 2x \cos 5x = -\sin x$ (за умови $\sin x \ne 0$)

$2 \sin 4x \cos 5x = -\sin x \Rightarrow \sin 9x - \sin x = -\sin x \Rightarrow \sin 9x = 0$

$x = \frac{\pi n}{9}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 9k$

При $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k \Rightarrow \cos^2 \pi k = 1 \Rightarrow 1+1+1+1=4 \ne 1,75$

Відповідь: $\frac{\pi n}{9}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 9k$

• Після зниження степеня ми отримали суму косинусів із кратними аргументами. Групування $(\cos 2x + \cos 8x)$ та $(\cos 4x + \cos 6x)$ дозволило винести за дужки $\cos 5x$.
• Домноження на $2 \sin x$ є потужним методом згортання добутків косинусів у один синус за формулою подвійного кута.
• Важливо окремо розглянути випадок, коли $\sin x = 0$, щоб не втратити та не додати зайвих коренів. У цій задачі точки $\pi k$ не є розв'язками, що підтверджує коректність ділення на синус.