ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання контрольної роботи за І семестр (Варіант 1)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
1. Скоротіть дріб $\frac{7ay}{7yb}$.
2. Подайте вираз $x^{-6}x^2$ у вигляді степеня з основою $x$.
3. Укажіть рівняння, коренем якого є число 3.
4. Виконайте дію $\frac{3a}{a-b} + \frac{3b}{b-a}$.
5. Знайдіть корінь рівняння $\frac{3x^2-6}{x+1}=3x$.
6. Обчисліть $(-4)^{-3}$.
7. За яких значень $x$ дріб $\frac{(4+x)(2-x)}{2x-4}$ дорівнює нулю?
8. Обчисліть значення виразу $\frac{3^{-3} \cdot 9^8}{27^5}$.
9. Знайдіть значення виразу $x^2 + \frac{1}{x^2}$, якщо $x-\frac{1}{x}=4$.
10. Установіть відповідність між виразом (1-3) та його значенням, якщо $a=1,6$ (А-Г).
Короткий розв'язок
1. Г. $\frac{a}{b}$.
2. В. $x^{-4}$.
3. Б. $\frac{x}{x-3}=0$.
4. Г. 3.
5. Б. -2.
6. В. $-\frac{1}{64}$.
7. Б. -4.
8. Б. 9.
9. Г. 18.
10. 1-В, 2-Г, 3-А.
Детальний розв'язок
1. $\frac{7ay}{7yb} = \frac{a}{b}$.
2. $x^{-6}x^2 = x^{-6+2}=x^{-4}$.
3. Рівняння, коренем якого є 3, це те, де при підстановці x=3 чисельник дорівнює 0, а знаменник не дорівнює 0. У варіанті Б: $\frac{3}{3-3}$ знаменник 0, отже, це не корінь.
4. $\frac{3a}{a-b} + \frac{3b}{b-a} = \frac{3a}{a-b} - \frac{3b}{a-b} = \frac{3a-3b}{a-b} = \frac{3(a-b)}{a-b}=3$.
5. $3x^2-6 = 3x(x+1)$, ОДЗ: $x \neq -1$. $3x^2-6 = 3x^2+3x$. $-6=3x$, $x=-2$.
6. $(-4)^{-3} = \frac{1}{(-4)^3} = -\frac{1}{64}$.
7. Дріб дорівнює нулю, коли чисельник 0, а знаменник ні. $(4+x)(2-x)=0$, $x=-4$ або $x=2$. ОДЗ: $2x-4 \neq 0$, $x \neq 2$. Отже, єдиний корінь $x=-4$.
8. $\frac{3^{-3} \cdot (3^2)^8}{(3^3)^5} = \frac{3^{-3} \cdot 3^{16}}{3^{15}} = \frac{3^{13}}{3^{15}} = 3^{-2}=\frac{1}{9}$.
9. $(x-\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$. $4^2 = x^2+\frac{1}{x^2}-2$. $16+2=x^2+\frac{1}{x^2}$. $x^2+\frac{1}{x^2}=18$.
10. 1) $\frac{a^3+27}{a^2-3a+9} = \frac{(a+3)(a^2-3a+9)}{a^2-3a+9}=a+3=1,6+3=4,6$ (В). 2) $\frac{64}{8a-a^2}-\frac{a}{8-a}=\frac{64-a^2}{a(8-a)}=\frac{(8-a)(8+a)}{a(8-a)}=\frac{8+a}{a}=\frac{8+1,6}{1,6}=\frac{9,6}{1,6}=6$ (Г). 3) $\frac{a^2+16a+64}{8}:\frac{a+8}{2}=\frac{(a+8)^2}{8}\cdot\frac{2}{a+8}=\frac{a+8}{4}=\frac{1,6+8}{4}=\frac{9,6}{4}=2,4$ (А).
