ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання контрольної роботи за II семестр (Варіант 1)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Яке з рівнянь не має коренів?
А. $x^2 = 25$; Б. $x^2 = 5$; В. $\sqrt{x} = 5$; Г. $\sqrt{x} = -5$.
2. Нехай $x_1$ і $x_2$ — корені рівняння $x^2 + 3x - 7 = 0$. Тоді $x_1 + x_2 = ...$
А. $3$; Б. $-3$; В. $7$; Г. $-7$.
3. Яке з вказаних чисел є коренем квадратного тричлена $x^2 - 3x - 10$?
А. $0$; Б. $2$; В. $5$; Г. $-5$.
4. $\sqrt{2\frac{1}{4}} - (-2\sqrt{7})^2 = ...$
А. $-26,5$; Б. $-12,5$; В. $-25,5$; Г. $29,5$.
5. Розв'яжіть рівняння $3x^2 - 2x = 0$.
А. $\frac{2}{3}$; Б. $0; -\frac{2}{3}$; В. $0; \frac{2}{3}$; Г. $0; 1,5$.
6. Розв'яжіть рівняння $\frac{x^2}{x + 2} = \frac{4}{x + 2}$.
А. Коренів немає; Б. $-2; 2$; В. $-2$; Г. $2$.
7. Знайдіть значення виразу $\frac{3x + 6}{2x^2 + x - 6}$, якщо $x = 2,5$.
А. $3$; Б. $\frac{3}{8}$; В. $1,5$; Г. $0,5$.
8. Добуток двох послідовних натуральних чисел на $209$ більший за їх суму. Знайдіть суму цих чисел.
А. $29$; Б. $31$; В. $33$; Г. $35$.
9. Обчисліть $(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4\sqrt{3}})^2$.
А. $12$; Б. $14$; В. $16$; Г. $18$.
10. Установіть відповідність між рівнянням (1–3) та його розв’язком (А–Г).
1. $5\sqrt{2x + 8} - 10 = 0$; 2. $x^3 - 2x^2 + x - 2 = 0$; 3. $(x^2 - 3)^2 - 2(x^2 - 3) + 1 = 0$.
А. Рівняння не має розв’язку; Б. $-2; 2$; В. $2$; Г. $-2$.
Короткий розв'язок
1. $\sqrt{x} = -5 \implies \emptyset \implies$ Г.
2. $x_1 + x_2 = -p = -3 \implies$ Б.
3. $5^2 - 3 \cdot 5 - 10 = 25 - 15 - 10 = 0 \implies$ В.
4. $1,5 - 28 = -26,5 \implies$ А.
5. $x(3x - 2) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = \frac{2}{3} \implies$ В.
6. $x^2 = 4, x \neq -2 \implies x = 2 \implies$ Г.
7. $\frac{3(x+2)}{(2x-3)(x+2)} = \frac{3}{2 \cdot 2,5 - 3} = \frac{3}{2} = 1,5 \implies$ В.
8. $n(n+1) = 2n + 1 + 209 \implies n = 15; \sum = 15 + 16 = 31 \implies$ Б.
9. $7 - 4\sqrt{3} - 2\sqrt{49 - 48} + 7 + 4\sqrt{3} = 14 - 2 = 12 \implies$ А.
10. $1 \to$ Г ($-2$); $2 \to$ В ($2$); $3 \to$ Б ($\pm 2$).
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для виконання завдань застосовуємо теорему Вієта, властивості арифметичного квадратного кореня та методи розв'язання квадратних рівнянь. У завданнях з дробами обов'язково враховуємо ОДЗ, а в текстових задачах — натуральність чисел.
1. За означенням, результат добування арифметичного квадратного кореня не може бути від’ємним числом. Рівняння $\sqrt{x} = -5$ не має розв’язків.
Відповідь: Г.
2. За теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння $x^2 + px + q = 0$ сума коренів дорівнює коефіцієнту $p$, взятому з протилежним знаком: $x_1 + x_2 = -p$. У рівнянні $x^2 + 3x - 7 = 0$ маємо $p = 3$, отже $x_1 + x_2 = -3$.
Відповідь: Б.
3. Перевіримо число $5$, підставивши його у тричлен: $5^2 - 3 \cdot 5 - 10 = 25 - 15 - 10 = 0$. Оскільки значення дорівнює нулю, $5$ є коренем.
Відповідь: В.
4. Обчислимо за діями:
$$\sqrt{2\frac{1}{4}} - (-2\sqrt{7})^2 = \sqrt{\frac{9}{4}} - (4 \cdot 7) = 1,5 - 28 = -26,5.$$
Відповідь: А.
5. Винесемо спільний множник за дужки: $x(3x - 2) = 0$.
$x = 0$ або $3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.
Відповідь: В.
6. ОДЗ: $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
З рівності чисельників: $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Враховуючи ОДЗ, корінь $x = -2$ сторонній. Залишається $x = 2$.
Відповідь: Г.
7. Спростимо вираз:
$\frac{3(x+2)}{2(x-1,5)(x+2)} = \frac{3}{2x - 3}$.
При $x = 2,5$: $\frac{3}{2 \cdot 2,5 - 3} = \frac{3}{5 - 3} = 1,5$.
Відповідь: В.
8. Нехай числа $n$ та $n+1$. За умовою:
$n(n+1) = (n + n + 1) + 209 \implies n^2 + n = 2n + 210 \implies n^2 - n - 210 = 0$.
Корені: $n = 15$ або $n = -14$ (не нат.). Числа $15$ і $16$. Сума: $15 + 16 = 31$.
Відповідь: Б.
9. Застосуємо формулу квадрата різниці:
$(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}})^2 - 2\sqrt{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} + (\sqrt{7 + 4\sqrt{3}})^2 = 7 - 4\sqrt{3} - 2\sqrt{49 - 48} + 7 + 4\sqrt{3} = 14 - 2 = 12$.
Відповідь: А.
10.
1) $5\sqrt{2x + 8} = 10 \implies \sqrt{2x + 8} = 2 \implies 2x + 8 = 4 \implies x = -2$. (Г)
2) $x^2(x - 2) + (x - 2) = 0 \implies (x - 2)(x^2 + 1) = 0 \implies x = 2$. (В)
3) Нехай $x^2 - 3 = t$: $t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t - 1)^2 = 0 \implies t = 1$.
$x^2 - 3 = 1 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. (Б)
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.