ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання контрольної роботи за II семестр (Варіант 2)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з алгебри для 8 класу».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Яке з рівнянь не має коренів?
А. $\sqrt{x} = -6$; Б. $\sqrt{x} = 6$; В. $x^2 = 6$; Г. $x^2 = 36$.
2. Нехай $x_1$ і $x_2$ — корені рівняння $x^2 + 2x - 5 = 0$. Тоді $x_1x_2 = ...$
А. $2$; Б. $-2$; В. $5$; Г. $-5$.
3. Яке з вказаних чисел є коренем квадратного тричлена $x^2 - 2x - 15$?
А. $-5$; Б. $5$; В. $3$; Г. $0$.
4. $\sqrt{6\frac{1}{4}} - (-2\sqrt{5})^2 = ...$
А. $-18,5$; Б. $-7,5$; В. $-17,5$; Г. $12,5$.
5. Розв'яжіть рівняння $7x^2 - 2x = 0$.
А. $\frac{2}{7}$; Б. $0; \frac{2}{7}$; В. $0; 3,5$; Г. $0; -\frac{2}{7}$.
6. Розв'яжіть рівняння $\frac{x^2}{x - 3} = \frac{9}{x - 3}$.
А. $3$; Б. $3; -3$; В. $-3$; Г. Коренів немає.
7. Знайдіть значення виразу $\frac{5x + 10}{2x^2 - x - 10}$, якщо $x = 3,5$.
А. $0,5$; Б. $\frac{5}{12}$; В. $5$; Г. $2,5$.
8. Сума двох послідовних натуральних чисел на $271$ менша за їх добуток. Знайдіть суму цих чисел.
А. $31$; Б. $33$; В. $35$; Г. $37$.
9. Обчисліть $(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}})^2$.
А. $12$; Б. $8$; В. $10$; Г. $6$.
10. Установіть відповідність між рівнянням (1–3) та його розв’язком (А–Г).
1. $3\sqrt{2x + 10} - 6 = 0$; 2. $x^3 - 3x^2 + x - 3 = 0$; 3. $(x^2 - 10)^2 + 2(x^2 - 10) + 1 = 0$.
А. $-3; 3$; Б. $-3$; В. $3$; Г. Рівняння не має розв’язку.
Короткий розв'язок
1. А (корінь не може бути від’ємним).
2. Г (за теоремою Вієта $x_1x_2 = q = -5$).
3. Б (при підстановці $x=5$ вираз дорівнює $0$).
4. В ($2,5 - 20 = -17,5$).
5. Б ($x_1 = 0, x_2 = \frac{2}{7}$).
6. В ($x = 3$ сторонній через ОДЗ).
7. Г (після спрощення $\frac{5}{2x-5}$ при $x=3,5$ маємо $2,5$).
8. В ($17 + 18 = 35$).
9. Б ($10 - 2 = 8$).
10. 1 $\to$ Б; 2 $\to$ В; 3 $\to$ А.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо основні властивості квадратних коренів, теорему Вієта та методи розв'язання раціональних рівнянь. Обов'язково перевіряйте ОДЗ у дробових рівняннях.
1. Арифметичний квадратний корінь за означенням не може бути від’ємним числом. Тому рівняння $\sqrt{x} = -6$ не має коренів.
Відповідь: А.
2. За теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння $x^2 + px + q = 0$ добуток коренів дорівнює вільному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$. У рівнянні $x^2 + 2x - 5 = 0$ вільний член $q = -5$.
Відповідь: Г.
3. Підставимо $x = 5$ у тричлен: $5^2 - 2 \cdot 5 - 15 = 25 - 10 - 15 = 0$. Оскільки значення дорівнює нулю, $5$ є коренем.
Відповідь: Б.
4. Обчислимо: $\sqrt{6,25} - ((-2)^2 \cdot (\sqrt{5})^2) = 2,5 - (4 \cdot 5) = 2,5 - 20 = -17,5$.
Відповідь: В.
5. $x(7x - 2) = 0 \implies x_1 = 0$ або $7x = 2$, звідки $x_2 = \frac{2}{7}$.
Відповідь: Б.
6. ОДЗ: $x \neq 3$. Чисельники: $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$. Враховуючи ОДЗ, $x = 3$ — сторонній корінь. Залишається $x = -3$.
Відповідь: В.
7. Спростимо: $\frac{5(x+2)}{(2x-5)(x+2)} = \frac{5}{2x-5}$. При $x = 3,5$: $\frac{5}{2 \cdot 3,5 - 5} = \frac{5}{7 - 5} = 2,5$.
Відповідь: Г.
8. Нехай числа $n$ та $n+1$. Тоді: $2n + 1 = n(n+1) - 271 \implies n^2 - n - 272 = 0$. $D = 1089 = 33^2$. $n = \frac{1 + 33}{2} = 17$. Числа $17$ і $18$. Сума: $17 + 18 = 35$.
Відповідь: В.
9. $(\sqrt{5+2\sqrt{6}})^2 - 2\sqrt{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})} + (\sqrt{5-2\sqrt{6}})^2 = 5 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{25-24} + 5 - 2\sqrt{6} = 10 - 2 = 8$.
Відповідь: Б.
10.
1) $\sqrt{2x+10} = 2 \implies 2x+10 = 4 \implies x = -3$ (Б);
2) $x^2(x-3) + (x-3) = 0 \implies (x-3)(x^2+1) = 0 \implies x = 3$ (В);
3) Нехай $x^2-10 = t$: $t^2+2t+1=0 \implies (t+1)^2=0 \implies t=-1$. $x^2-10=-1 \implies x^2=9 \implies x=\pm 3$ (А).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.