ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Контрольна робота за І семестр (Варіант 1)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Знайдіть сторону квадрата, якщо його периметр дорівнює 24 см.
А. 4 см; Б. 6 см; В. 8 см; Г. 12 см.
2. На малюнку $A_1B_1 \parallel A_2B_2$, $OB_1 = B_1B_2$, $OA_1 = 6$ см. Знайдіть $OA_2$.
А. Знайти неможливо; Б. 10 см; В. 6 см; Г. 12 см.
3. За яких з наведених умов $\triangle KLM \sim \triangle K_1L_1M_1$?
А. $\angle K = \angle K_1 = 25^\circ$; Б. $\angle K = \angle K_1$, $\angle L = 30^\circ, \angle L_1 = 35^\circ$; В. $\angle L = \angle L_1, \angle M = 29^\circ, \angle M_1 = 29^\circ$; Г. $\angle M = \angle M_1, \angle K = 120^\circ, \angle L_1 = 120^\circ$.
4. ABCD - ромб, $\angle ABD = 50^\circ$. Знайдіть $\angle A$.
А. 80°; Б. 40°; В. 60°; Г. 70°.
5. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 6 см, а бічна сторона – 8 см. Знайдіть периметр трикутника, вершинами якого є середини сторін цього трикутника.
А. 10 см; Б. 11 см; В. 12 см; Г. 14 см.
6. Катет прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а його проєкція на гіпотенузу – 4 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.
А. 9 см; Б. 10 см; В. 8 см; Г. 12 см.
7. У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює 60°, більша бічна сторона – 10 см, а більша основа – 9 см. Знайдіть меншу основу.
А. 3 см; Б. 4 см; В. 5 см; Г. 6 см.
8. Пряма KL паралельна стороні BC трикутника ABC, $BC = 12$ см, $KL = 8$ см, $KB = 2$ см. Знайдіть довжину сторони AB.
9. Бісектриса кута A паралелограма ABCD ділить сторону BC на відрізки BK і KC так, що $BK : KC = 1 : 2$. Знайдіть BC, якщо периметр паралелограма дорівнює 80 см.
10. У прямокутнику ABCD діагоналі перетинаються в точці O. Кут OAB на 30° менший від кута AOB. Установіть відповідність між кутами (1-3) та їхніми градусними мірами (А-Г).
1. $\angle OAB$
2. $\angle AOB$
3. $\angle BDA$
А. 30°; Б. 40°; В. 50°; Г. 80°.
Короткий розв'язок
1. $P=4a \implies a=24/4=6$ см $\implies$ Б.
2. $OB_2 = 2OB_1$. $OA_2 = 2OA_1 = 12$ см $\implies$ Г.
3. За двома рівними кутами $\implies$ В.
4. $\triangle ABD$ - рівнобедрений. $\angle A = 180 - 2 \cdot 50 = 80^\circ \implies$ А.
5. Сторони нового трикутника - середні лінії. $P_{new} = P_{old}/2 = (6+8+8)/2 = 11$ см $\implies$ Б.
6. $a^2 = c_a \cdot c \implies 36=4c \implies c=9$ см $\implies$ А.
7. Висота $h=10\sin(60^\circ)$. Катет навпроти 30° = 5. Менша основа = $9-5=4$ см $\implies$ Б.
8. $\triangle AKL \sim \triangle ABC$. $\frac{AK}{AB} = \frac{KL}{BC} \implies \frac{AB-2}{AB} = \frac{8}{12} \implies 12(AB-2) = 8AB \implies 4AB=24 \implies AB=6$ см $\implies$ Г.
9. $AB=BK=x$. $BC=3x$. $P=2(x+3x)=80 \implies 8x=80 \implies x=10$. $BC=30$ см $\implies$ В.
10. $\angle OAB=x, \angle AOB=x+30$. $x+x+x+30=180 \implies 3x=150 \implies x=50$. $\angle OAB=50^\circ, \angle AOB=80^\circ, \angle BDA=40^\circ$.
1-В, 2-Г, 3-Б.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості чотирикутників, теорему Фалеса, ознаки подібності трикутників, метричні співвідношення в прямокутному трикутнику.
1. Периметр квадрата $P = 4a$, де $a$ - сторона квадрата. $24 = 4a \implies a = 6$ см.
Відповідь: Б.
2. За теоремою Фалеса, оскільки $A_1B_1 \parallel A_2B_2$ і $OB_1 = B_1B_2$, то $OA_1 = A_1A_2 = 6$ см. Тоді $OA_2 = OA_1 + A_1A_2 = 6 + 6 = 12$ см.
Відповідь: Г.
3. Трикутники подібні за першою ознакою (за двома кутами). Якщо $\angle L = \angle L_1$ і $\angle M = \angle M_1 = 29^\circ$, то трикутники подібні.
Відповідь: В.
4. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. $\angle ABC = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$. Сума сусідніх кутів ромба 180°. $\angle A = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
Відповідь: А.
5. Периметр початкового трикутника $P = 6+8+8=22$ см. Сторони нового трикутника є середніми лініями, тому його периметр вдвічі менший. $P_{new} = 22/2=11$ см.
Відповідь: Б.
6. За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику: квадрат катета дорівнює добутку гіпотенузи на його проєкцію. $a^2 = c_a \cdot c \implies 6^2 = 4 \cdot c \implies 36=4c \implies c=9$ см.
Відповідь: А.
7. Проведемо висоту $CH$. У прямокутному $\triangle CHD$ $\angle D = 60^\circ, CD=10$ см. $HD = CD \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot 0.5 = 5$ см. Менша основа $BC = AD - HD = 9-5=4$ см.
Відповідь: Б.
8. Оскільки $KL \parallel BC$, то $\triangle AKL \sim \triangle ABC$. $\frac{AK}{AB} = \frac{KL}{BC}$. Нехай $AB=x$, тоді $AK=x-2$. $\frac{x-2}{x} = \frac{8}{12} \implies 12(x-2)=8x \implies 12x-24=8x \implies 4x=24 \implies x=6$. $AB=6$ см.
Відповідь: Г.
9. Оскільки AK - бісектриса, то $\triangle ABK$ - рівнобедрений, $AB=BK$. Нехай $BK=x$, тоді $KC=2x$, $BC=3x$, $AB=x$. Периметр $P=2(AB+BC)=2(x+3x)=8x$. $8x=80 \implies x=10$. $BC=3x=30$ см.
Відповідь: В.
10. У $\triangle AOB$ нехай $\angle OAB = x$, тоді $\angle AOB = x+30^\circ$. $\triangle AOB$ рівнобедрений ($OA=OB$), тому $\angle OBA = \angle OAB = x$. Сума кутів трикутника: $x+x+(x+30)=180 \implies 3x=150 \implies x=50^\circ$. Отже, $\angle OAB=50^\circ, \angle AOB=80^\circ$. Оскільки діагоналі прямокутника рівні, то $OA=OD$, отже $\triangle AOD$ рівнобедрений і $\angle OAD = \angle BDA$. $\angle OAD = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$. Таким чином, $\angle BDA = 40^\circ$.
Відповідь: 1-В, 2-Г, 3-Б.
