ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Контрольна робота за І семестр (Варіант 2)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Знайдіть периметр квадрата, сторона якого дорівнює 5 см.
А. 10 см; Б. 15 см; В. 20 см; Г. 25 см.
2. На малюнку $A_1B_1 \parallel A_2B_2$, $OA_1 = A_1A_2$, $OB_2 = 12$ см. Знайдіть $OB_1$.
А. 6 см; Б. 4 см; В. 3 см; Г. 8 см.
3. За яких з наведених умов $\triangle BCD \sim \triangle B_1C_1D_1$?
А. $\angle B = \angle B_1 = 45^\circ$; Б. $\angle B = \angle B_1, \angle C = 50^\circ, \angle C_1 = 50^\circ$; В. $\angle C = \angle C_1, \angle B = 110^\circ, \angle D_1 = 110^\circ$; Г. $\angle D = \angle D_1, \angle B = 43^\circ, \angle B_1 = 42^\circ$.
4. ABCD - ромб, $\angle D = 40^\circ$. Знайдіть $\angle DAC$.
А. 80°; Б. 50°; В. 60°; Г. 70°.
5. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 6 см, а основа – 10 см. Знайдіть периметр трикутника, вершинами якого є середини сторін цього трикутника.
А. 10 см; Б. 11 см; В. 12 см; Г. 13 см.
6. Катет прямокутного трикутника дорівнює 4 см, а його проєкція на гіпотенузу – 2 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.
А. 6 см; Б. 9 см; В. 8 см; Г. 10 см.
7. У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює 60°, більша бічна сторона – 12 см, а менша основа – 5 см. Знайдіть більшу основу.
А. 9 см; Б. 10 см; В. 11 см; Г. 12 см.
8. Пряма MN паралельна стороні AC трикутника ABC, $AC = 9$ см, $MN = 3$ см, $AM = 4$ см. Знайдіть довжину сторони AB.
9. Бісектриса кута B паралелограма ABCD ділить сторону AD на відрізки AM і MD так, що $AM : MD = 1 : 3$. Знайдіть AD, якщо периметр паралелограма ABCD дорівнює 100 см.
10. У прямокутнику ABCD діагоналі перетинаються в точці O. Кут AOB на 15° більший за кут ABO. Установіть відповідність між кутами (1-3) та їхніми градусними мірами (А-Г).
1. $\angle AOB$
2. $\angle ABO$
3. $\angle CAD$
А. 35°; Б. 55°; В. 60°; Г. 70°.
Короткий розв'язок
1. $P=4a = 4 \cdot 5 = 20$ см $\implies$ В.
2. $OA_2 = 2OA_1$. $OB_2 = 2OB_1 \implies OB_1=12/2=6$ см $\implies$ А.
3. За двома рівними кутами $\implies$ Б.
4. $\triangle ACD$ - рівнобедрений. $\angle C = 180-40=140^\circ$. $\angle DAC = (180-140)/2=20^\circ$. (Помилка) $\angle A=140^\circ$. $\angle DAC = 140/2=70^\circ \implies$ Г.
5. $P_{new} = P_{old}/2 = (6+6+10)/2 = 11$ см $\implies$ Б.
6. $a^2 = c_a \cdot c \implies 16=2c \implies c=8$ см $\implies$ В.
7. $HD = 12 \cos(60^\circ)=6$ см. $AD = BC+HD = 5+6=11$ см $\implies$ В.
8. $\triangle BMN \sim \triangle BAC$. $\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC} \implies \frac{AB-4}{AB} = \frac{3}{9} \implies 9(AB-4)=3AB \implies 6AB=36 \implies AB=6$ см $\implies$ Г.
9. $AB=AM=x, AD=4x$. $P=2(x+4x)=100 \implies 10x=100 \implies x=10$. $AD=40$ см $\implies$ Б.
10. $\angle ABO=x, \angle AOB=x+15$. $x+x+(x+15)=180 \implies 3x=165 \implies x=55^\circ$. $\angle AOB=70^\circ, \angle ABO=55^\circ$. $\angle CAD=90-55=35^\circ$. 1-Г, 2-Б, 3-А.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості чотирикутників, теорему Фалеса, ознаки подібності трикутників, метричні співвідношення в прямокутному трикутнику.
1. Периметр квадрата $P = 4a$, де $a$ - сторона квадрата. $P = 4 \cdot 5 = 20$ см.
Відповідь: В.
2. За теоремою Фалеса, оскільки $A_1B_1 \parallel A_2B_2$ і $OA_1 = A_1A_2$, то $OB_1 = B_1B_2$. Отже, $OB_1 = OB_2 / 2 = 12 / 2 = 6$ см.
Відповідь: А.
3. Трикутники подібні за першою ознакою (за двома кутами). Якщо $\angle B = \angle B_1$ і $\angle C = \angle C_1 = 50^\circ$, то трикутники подібні.
Відповідь: Б.
4. Сума сусідніх кутів ромба 180°. $\angle A = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. Діагональ ромба є бісектрисою його кута, тому $\angle DAC = \angle A / 2 = 140^\circ / 2 = 70^\circ$.
Відповідь: Г.
5. Периметр початкового трикутника $P = 6+6+10=22$ см. Сторони нового трикутника є середніми лініями, тому його периметр вдвічі менший. $P_{new} = 22/2=11$ см.
Відповідь: Б.
6. За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику: квадрат катета дорівнює добутку гіпотенузи на його проєкцію. $a^2 = c_a \cdot c \implies 4^2 = 2 \cdot c \implies 16=2c \implies c=8$ см.
Відповідь: В.
7. Проведемо висоту $CH$. У прямокутному $\triangle CHD$ $\angle D = 60^\circ, CD=12$ см. $HD = CD \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot 0.5 = 6$ см. Більша основа $AD = BC + HD = 5+6=11$ см.
Відповідь: В.
8. Оскільки $MN \parallel AC$, то $\triangle BMN \sim \triangle BAC$. $\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC}$. Нехай $AB=x$, тоді $BM=x-4$. $\frac{x-4}{x} = \frac{3}{9} \implies 9(x-4)=3x \implies 9x-36=3x \implies 6x=36 \implies x=6$. $AB=6$ см.
Відповідь: Г.
9. Оскільки BK - бісектриса, то $\triangle ABM$ - рівнобедрений, $AB=AM$. Нехай $AM=x$, тоді $MD=3x$, $AD=4x$, $AB=x$. Периметр $P=2(AB+AD)=2(x+4x)=10x$. $10x=100 \implies x=10$. $AD=4x=40$ см.
Відповідь: Б.
10. У $\triangle AOB$ нехай $\angle ABO = x$, тоді $\angle AOB = x+15^\circ$. $\triangle AOB$ рівнобедрений ($OA=OB$), тому $\angle OAB = \angle ABO = x$. Сума кутів трикутника: $x+x+(x+15)=180 \implies 3x=165 \implies x=55^\circ$. Отже, $\angle ABO=55^\circ, \angle AOB=70^\circ$. $\triangle AOD$ рівнобедрений ($OA=OD$), $\angle OAD=\angle ODA$. $\angle OAD = 90 - \angle OAB = 90 - 55 = 35^\circ$. Отже $\angle CAD = 35^\circ$.
Відповідь: 1-Г, 2-Б, 3-А.
