ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання контрольної роботи за II семестр (Варіант 1)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умови завдань 1–9

1. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 5 см і 12 см.
А. 13 см; Б. 17 см; В. $\sqrt{119}$ см; Г. 15 см.

2. Площа прямокутника дорівнює 24 см², а одна з його сторін — 3 см. Знайдіть сторону прямокутника, яка не паралельна даній.
А. 3 см; Б. 6 см; В. 8 см; Г. 9 см.

3. Знайдіть площу прямокутного трикутника з катетами 6 см і 5 см дорівнює...
А. 30 см²; Б. 11 см²; В. 22 см²; Г. 15 см².

4. $AK$ — бісектриса $\triangle ABC$, $AB = 4$ см, $AC = 6$ см. Менший з відрізків, на які бісектриса ділить сторону $BC$, дорівнює 2 см. Знайдіть $BC$.
А. 4 см; Б. 5 см; В. 6 см; Г. 7 см.

5. $AB$ — гіпотенуза прямокутного трикутника $ABC$, $AC = 10$ см, $\angle B = 40^\circ$. Знайдіть $AB$ з точністю до десятих.
А. 15,6 см; Б. 15,5 см; В. 13,1 см; Г. 13,0 см.

6. Обчисліть суму внутрішніх кутів опуклого 9-кутника.
А. 900°; Б. 1080°; В. 1260°; Г. 1440°.

7. Знайдіть $x$ за малюнком.
А. 7 см; Б. 8 см; В. 9 см; Г. 10 см.

8. Більша діагональ прямокутної трапеції дорівнює 17 см, а висота — 8 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа — 5 см.
А. 120 см²; Б. 160 см²; В. 100 см²; Г. 80 см².

9. Сторони паралелограма — 6 см і 9 см, а сума двох його висот, проведених з однієї вершини, — 10 см. Знайдіть площу паралелограма.
А. 24 см²; Б. 54 см²; В. 36 см²; Г. 60 см².

Короткі розв'язки

1. $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ см $\implies$ А.

2. $b = 24 : 3 = 8$ см $\implies$ В.

3. $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$ см² $\implies$ Г.

4. $\frac{4}{6} = \frac{2}{x} \implies x = 3$ см; $BC = 2 + 3 = 5$ см $\implies$ Б.

5. $AB = \frac{10}{\sin 40^\circ} \approx \frac{10}{0,6428} \approx 15,6$ см $\implies$ А.

6. $180^\circ \cdot (9 - 2) = 1260^\circ \implies$ В.

7. $\sqrt{20^2 - 12^2} - \sqrt{15^2 - 12^2} = 16 - 9 = 7$ см $\implies$ А.

8. $a = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15$ см; $S = \frac{5 + 15}{2} \cdot 8 = 80$ см² $\implies$ Г.

9. $6h_1 = 9(10 - h_1) \implies 15h_1 = 90 \implies h_1 = 6$ см; $S = 6 \cdot 6 = 36$ см² $\implies$ В.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Застосовуємо фундаментальні теореми геометрії: теорему Піфагора, властивість бісектриси, тригонометричні співвідношення та формули площ.

1. За теоремою Піфагора гіпотенуза $c$ дорівнює:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ (см).}$$

Відповідь: А.

2. Площа прямокутника $S = a \cdot b$. Звідси невідома сторона $b$:

$$b = S / a = 24 / 3 = 8 \text{ (см).}$$

Відповідь: В.

3. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15 \text{ (см²).}$$

Відповідь: Г.

4. За властивістю бісектриси кута трикутника: $\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{KC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Отже, відрізки пропорційні як $2:3$. Якщо менший відрізок дорівнює 2 см, то другий — 3 см. Тоді:

$$BC = 2 + 3 = 5 \text{ (см).}$$

Відповідь: Б.

5. У прямокутному трикутнику $AC = AB \cdot \sin B$. Виразимо гіпотенузу:

$$AB = \frac{AC}{\sin B} = \frac{10}{\sin 40^\circ} \approx \frac{10}{0,6428} \approx 15,556 \approx 15,6 \text{ (см).}$$

Відповідь: А.

6. Сума кутів опуклого $n$-кутника обчислюється за формулою $180^\circ \cdot (n - 2)$:

$$S_9 = 180^\circ \cdot (9 - 2) = 180^\circ \cdot 7 = 1260^\circ.$$

Відповідь: В.

7. На малюнку зображено два прямокутні трикутники зі спільним катетом 12 см.
1) Проєкція похилої 15 см дорівнює: $\sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.
2) Проєкція похилої 20 см (вся основа) дорівнює: $\sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см.
3) Шуканий відрізок $x = 16 - 9 = 7$ см.
Відповідь: А.

8. У прямокутній трапеції висота $h = 8$ см. Більша діагональ утворює прямокутний трикутник з висотою та більшою основою $a$:
1) $a = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = 15$ см.
2) Площа трапеції з основами 5 см та 15 см:

$$S = \frac{5 + 15}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80 \text{ (см²).}$$

Відповідь: Г.

9. Нехай висоти паралелограма $h_1$ та $h_2$. Площа $S = 6 \cdot h_1 = 9 \cdot h_2$.
Оскільки $h_1 + h_2 = 10$, то $h_2 = 10 - h_1$. Підставимо:
$6h_1 = 9(10 - h_1) \implies 6h_1 = 90 - 9h_1 \implies 15h_1 = 90 \implies h_1 = 6$ см.
Тоді площа $S = 6 \cdot 6 = 36$ (см²).
Відповідь: В.