ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання контрольної роботи за II семестр (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умови завдань 1–9

1. Катет прямокутного трикутника дорівнює 8 см, а гіпотенуза — 17 см. Знайдіть другий катет.
А. 9 см; Б. 15 см; В. $\sqrt{353}$ см; Г. 10 см.

2. Одна зі сторін прямокутника дорівнює 4 см, а його площа — 24 см². Знайдіть сторону прямокутника, яка не паралельна цій стороні.
А. 4 см; Б. 8 см; В. 6 см; Г. 10 см.

3. Площа прямокутного трикутника з катетами 4 см і 5 см дорівнює...
А. 9 см²; Б. 18 см²; В. 20 см²; Г. 10 см².

4. $VM$ — бісектриса $\triangle ABC$, $AB = 4$ см, $BC = 6$ см. Більший з відрізків, на які бісектриса ділить сторону $AC$, дорівнює 3 см. Знайдіть $AC$.
А. 2 см; Б. 3 см; В. 5 см; Г. 6 см.

5. $AB$ — гіпотенуза прямокутного трикутника $ABC$, $AC = 8$ см, $\angle A = 70^\circ$. Знайдіть $AB$ з точністю до десятих.
А. 8,5 см; Б. 23,3 см; В. 23,4 см; Г. 8,6 см.

6. Обчисліть суму внутрішніх кутів опуклого 8-кутника.
А. 900°; Б. 1080°; В. 1260°; Г. 1440°.

7. Знайдіть $x$ за малюнком.
А. 8 см; Б. 9 см; В. 10 см; Г. 15 см.

8. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 12 см і 8 см, а більша діагональ — 13 см. Знайдіть площу трапеції.
А. 130 см²; Б. 100 см²; В. 50 см²; Г. 60 см².

9. Висоти паралелограма, що проведені з однієї вершини, — 5 см і 4 см, а сума сторін паралелограма — 18 см. Знайдіть площу паралелограма.
А. 40 см²; Б. 50 см²; В. 32 см²; Г. 20 см².

Короткі розв'язки

1. $b = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15$ см $\implies$ Б.

2. $b = 24 / 4 = 6$ см $\implies$ В.

3. $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10$ см² $\implies$ Г.

4. $4 / 6 = x / 3 \implies x = 2$ см; $AC = 2 + 3 = 5$ см $\implies$ В.

5. $AB = 8 / \cos 70^\circ \approx 8 / 0,342 \approx 23,4$ см $\implies$ В.

6. $180^\circ \cdot (8 - 2) = 1080^\circ \implies$ Б.

7. $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ см; $x = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15$ см $\implies$ Г.

8. $h = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ см; $S = \frac{8 + 12}{2} \cdot 5 = 50$ см² $\implies$ В.

9. $5a = 4b, a + b = 18 \implies a = 8, b = 10$. $S = 8 \cdot 5 = 40$ см² $\implies$ А.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо теорему Піфагора, властивість бісектриси трикутника, тригонометричні означення та формули площі многокутників.

1. За теоремою Піфагора катет дорівнює:

$$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15 \text{ (см).}$$

Відповідь: Б.

2. Сторона прямокутника, не паралельна даній, є його шириною (або довжиною). З формули площі $S = a \cdot b$:

$$b = S / a = 24 / 4 = 6 \text{ (см).}$$

Відповідь: В.

3. Площа прямокутного трикутника обчислюється як половина добутку катетів:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10 \text{ (см²).}$$

Відповідь: Г.

4. За теоремою про бісектрису: $\frac{AB}{BC} = \frac{AM}{MC}$. Нехай $AB=4, BC=6$, а більший відрізок $MC=3$. Тоді:
$\frac{4}{6} = \frac{AM}{3} \implies AM = \frac{4 \cdot 3}{6} = 2$ (см).
Сторона $AC = AM + MC = 2 + 3 = 5$ (см).
Відповідь: В.

5. У прямокутному трикутнику катет $AC$ є прилеглим до кута $A$. Тоді $\cos A = \frac{AC}{AB}$.

$$AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{8}{\cos 70^\circ} \approx \frac{8}{0,3420} \approx 23,39 \approx 23,4 \text{ (см).}$$

Відповідь: В.

6. Формула суми кутів опуклого $n$-кутника: $180^\circ \cdot (n - 2)$.

$$180^\circ \cdot (8 - 2) = 180^\circ \cdot 6 = 1080^\circ.$$

Відповідь: Б.

7. 1) З лівого прямокутного трикутника знайдемо спільний катет (висоту): $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ см.
2) З правого прямокутного трикутника знайдемо $x$: $x = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15$ см.
Відповідь: Г.

8. У прямокутній трапеції більша діагональ (13 см) утворює прямокутний трикутник з висотою $h$ та більшою основою (12 см).
1) Висота $h = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ см.
2) Площа $S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{12 + 8}{2} \cdot 5 = 10 \cdot 5 = 50$ (см²).
Відповідь: В.

9. Площа паралелограма $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Маємо $5a = 4b \implies a = 0,8b$.
За умовою $a + b = 18 \implies 0,8b + b = 18 \implies 1,8b = 18 \implies b = 10$ см.
Тоді $a = 18 - 10 = 8$ см. Площа $S = 8 \cdot 5 = 40$ (см²).
Відповідь: А.