ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №9 (Варіант 1)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть малюнок, на якому зображено шестикутник, описаний навколо кола.
2. Квадрат і прямокутник мають однакові площі. Сторона квадрата дорівнює 6 см, а одна зі сторін прямокутника — 9 см. Знайдіть другу сторону прямокутника.
3. Сума кутів деякого опуклого многокутника дорівнює 1620°. Знайдіть, скільки в нього сторін і скільки діагоналей.
4. Бісектриса $AL$ кута прямокутника $ABCD$ ділить сторону $BC$ на відрізки 4 см і 5 см завдовжки. Знайдіть площу прямокутника (розгляньте всі можливі випадки).
Короткий розв'язок
1. Описаний многокутник — той, усі сторони якого дотикаються до кола. На малюнку Б зображено шестикутник, сторони якого є дотичними до кола. Відповідь: Б.
2. $S_{кв} = 6^2 = 36$ см²; $S_{пр} = 9 \cdot x = 36 \implies x = 4$ см.
3. $180(n-2) = 1620 \implies n-2 = 9 \implies n = 11$ сторін. $d = \frac{11(11-3)}{2} = 44$ діагоналі.
4. 1) $BL=4, LC=5 \implies AB=4, BC=9, S=36$ см²; 2) $BL=5, LC=4 \implies AB=5, BC=9, S=45$ см².
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо формулу суми кутів опуклого многокутника, властивості бісектриси кута прямокутника (яка відтинає рівнобедрений трикутник) та формули площі многокутників.
1. Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола. Надані варіанти: А — вписаний п'ятикутник; Б — описаний шестикутник; В — описаний п'ятикутник; Г — вписаний шестикутник.
Відповідь: Б.
2. Площа квадрата обчислюється за формулою $S = a^2$. Площа прямокутника — $S = a \cdot b$. За умовою площі рівні.
1) $S_{кв} = 6^2 = 36$ (см²).
2) Нехай невідома сторона прямокутника дорівнює $x$. Тоді $9 \cdot x = 36$.
3) $x = 36 : 9 = 4$ (см).
Відповідь: 4 см.
3. Сума кутів опуклого $n$-кутника дорівнює $180^\circ(n-2)$. За умовою вона становить $1620^\circ$.
1) $180(n-2) = 1620$.
2) $n-2 = 1620 : 180 = 9 \implies n = 11$ сторін.
3) Кількість діагоналей обчислюється за формулою $d = \frac{n(n-3)}{2}$.
4) $d = \frac{11(11-3)}{2} = \frac{11 \cdot 8}{2} = 44$.
Відповідь: 11 сторін, 44 діагоналі.
4. Оскільки $AL$ — бісектриса прямого кута $A$, то $\angle BAL = \angle DAL = 45^\circ$. В прямокутнику $BC \parallel AD$, тому $\angle BLA = \angle DAL = 45^\circ$ як внутрішні різносторонні кути. Отже, $\triangle ABL$ — рівнобедрений ($AB = BL$). Розглянемо два випадки поділу сторони $BC$:
Випадок 1: $BL = 4$ см, $LC = 5$ см.
Тоді сторона $AB = BL = 4$ см. Сторона $BC = BL + LC = 4 + 5 = 9$ см.
Площа $S = AB \cdot BC = 4 \cdot 9 = 36$ (см²).
Випадок 2: $BL = 5$ см, $LC = 4$ см.
Тоді сторона $AB = BL = 5$ см. Сторона $BC = BL + LC = 5 + 4 = 9$ см.
Площа $S = AB \cdot BC = 5 \cdot 9 = 45$ (см²).
Відповідь: 36 см² або 45 см².
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.