ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №9 (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. Укажіть малюнок, на якому зображено п'ятикутник, описаний навколо кола.

2. Прямокутник і квадрат мають однакові площі. Сторона квадрата дорівнює 8 см, а одна зі сторін прямокутника — 4 см. Знайдіть другу сторону прямокутника.

3. Знайдіть кількість сторін і кількість діагоналей опуклого многокутника, сума кутів якого дорівнює 1260°.

4. Бісектриса $BM$ кута прямокутника $ABCD$ ділить сторону $AD$ на відрізки 6 см і 3 см завдовжки. Знайдіть площу прямокутника (розгляньте всі можливі випадки).

Короткий розв'язок

1. На малюнку Б зображено п'ятикутник, сторони якого дотикаються до кола. Відповідь: Б.

2. $S_{кв} = 8^2 = 64$ см²; $S_{пр} = 4 \cdot x = 64 \implies x = 16$ см.

3. $180(n-2) = 1260 \implies n-2 = 7 \implies n = 9$. $d = \frac{9(9-3)}{2} = 27$.

4. 1) $AM=6, MD=3 \implies AB=6, AD=9, S=54$ см²; 2) $AM=3, MD=6 \implies AB=3, AD=9, S=27$ см².

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Застосовуємо формулу суми кутів опуклого $n$-кутника, властивості описаних многокутників та формулу площі прямокутника.

1. Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола. На малюнках А та В зображені вписані та описані фігури з різною кількістю вершин. П'ятикутник, усі сторони якого є дотичними до кола, зображено на малюнку Б.
Відповідь: Б.

2. Оскільки за умовою площі квадрата та прямокутника рівні, спочатку знайдемо площу квадрата за формулою $S = a^2$:
$S_{кв} = 8^2 = 64$ (см²).
Площа прямокутника обчислюється як добуток його сторін ($S = a \cdot b$). Нехай невідома сторона дорівнює $x$ см:
$4 \cdot x = 64$;
$x = 64 : 4 = 16$ (см).
Відповідь: 16 см.

3. Сума кутів опуклого многокутника обчислюється за формулою $180^\circ(n-2)$, де $n$ — кількість сторін.
1) $180(n-2) = 1260$;
2) $n-2 = 1260 : 180 = 7$;
3) $n = 7 + 2 = 9$ (сторін).
Знайдемо кількість діагоналей за формулою $d = \frac{n(n-3)}{2}$:
4) $d = \frac{9(9-3)}{2} = \frac{9 \cdot 6}{2} = 27$.
Відповідь: 9 сторін, 27 діагоналей.

4. Бісектриса кута прямокутника відтинає від нього рівнобедрений трикутник. Оскільки $BM$ — бісектриса $\angle B$, то $\triangle ABM$ — рівнобедрений з основою $BM$, де $AB = AM$. Розглянемо два випадки розташування точки $M$ на стороні $AD$:

Випадок 1: Бісектриса ділить сторону $AD$ так, що $AM = 6$ см, а $MD = 3$ см.
Тоді сторона $AB = AM = 6$ см. Сторона $AD = AM + MD = 6 + 3 = 9$ см.
Площа $S = AB \cdot AD = 6 \cdot 9 = 54$ (см²).

Випадок 2: Бісектриса ділить сторону $AD$ так, що $AM = 3$ см, а $MD = 6$ см.
Тоді сторона $AB = AM = 3$ см. Сторона $AD = AM + MD = 3 + 6 = 9$ см.
Площа $S = AB \cdot AD = 3 \cdot 9 = 27$ (см²).
Відповідь: 54 см² або 27 см².