ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №3 (Варіант 4)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. Укажіть вираз, що НЕ є многочленом.
А) $\frac{m^2}{2m - 7}$; Б) $m^2 + 2m - 7$; В) $m^2 - 7$; Г) $m^2$.

2. $x(m + n) = ...$
А) $x + xn$; Б) $xm + n$; В) $xm - xn$; Г) $xm + xn$.

3. $6p - 18 = ...$
А) $6(p + 3)$; Б) $6(p - 3)$; В) $3(p - 6)$; Г) $18(p - 1)$.

4. Перетворіть вираз на многочлен стандартного вигляду:
1) $(3m - m^2) + (2m^2 - 4) - (m - 4)$;
2) $-5ab(a^2 + 2ab - b^2)$.

5. Розкладіть многочлен на множники:
1) $10p^2 - 12pn$;
2) $7b - 7c + ab - ac$.

6. Спростіть вираз $(y - 2)(y + 7) - y(y + 5)$.

7. Розв'яжіть рівняння $(2x - 3)(5x + 2) = x(10x - 3) - 30$.

8. Подайте вираз у вигляді добутку:
1) $12c^4 - 4c^5 + 16c^8$;
2) $tp + 5p - 5t - p^2$.

9. Знайдіть чотири послідовних цілих числа, якщо добуток другого й четвертого на 31 більший за добуток першого і третього.

Короткий розв'язок

1. А. $\frac{m^2}{2m - 7}$

2. Г. $xm + xn$

3. Б. $6(p - 3)$

4. 1) $m^2 + 2m$; 2) $-5a^3b - 10a^2b^2 + 5ab^3$.

5. 1) $2p(5p - 6n)$; 2) $(b - c)(7 + a)$.

6. -14.

7. $x = 3$.

8. 1) $4c^4(3 - c + 4c^4)$; 2) $(t - p)(p - 5)$.

9. 14, 15, 16, 17.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: У цих завданнях ми використовуємо визначення многочлена, правила множення одночлена на многочлен та многочлена на многочлен, а також методи розкладання многочленів на множники, зокрема винесення спільного множника та групування.

1. Многочлен — це сума одночленів. Вираз $\frac{m^2}{2m - 7}$ містить ділення на вираз зі змінною, тому він не є многочленом.
Відповідь: А.

2. Застосуємо розподільну властивість множення: $x(m + n) = x \cdot m + x \cdot n = xm + xn$.
Відповідь: Г.

3. Винесемо спільний множник 6 за дужки: $6p - 18 = 6 \cdot p - 6 \cdot 3 = 6(p - 3)$.
Відповідь: Б.

4.
1) $(3m - m^2) + (2m^2 - 4) - (m - 4) = 3m - m^2 + 2m^2 - 4 - m + 4 = (-m^2 + 2m^2) + (3m - m) + (-4 + 4) = m^2 + 2m$.
2) $-5ab(a^2 + 2ab - b^2) = -5ab \cdot a^2 - 5ab \cdot 2ab - 5ab \cdot (-b^2) = -5a^3b - 10a^2b^2 + 5ab^3$.

5.
1) $10p^2 - 12pn = 2p \cdot 5p - 2p \cdot 6n = 2p(5p - 6n)$.
2) $7b - 7c + ab - ac = (7b - 7c) + (ab - ac) = 7(b - c) + a(b - c) = (b - c)(7 + a)$.

6. $(y - 2)(y + 7) - y(y + 5) = (y^2 + 7y - 2y - 14) - (y^2 + 5y) = y^2 + 5y - 14 - y^2 - 5y = -14$.

7. $(2x - 3)(5x + 2) = x(10x - 3) - 30$
$10x^2 + 4x - 15x - 6 = 10x^2 - 3x - 30$
$10x^2 - 11x - 6 = 10x^2 - 3x - 30$
$-11x - 6 = -3x - 30$
$-11x + 3x = -30 + 6$
$-8x = -24$
$x = -24 : (-8)$
$x = 3$.

8.
1) $12c^4 - 4c^5 + 16c^8 = 4c^4 \cdot 3 - 4c^4 \cdot c + 4c^4 \cdot 4c^4 = 4c^4(3 - c + 4c^4)$.
2) $tp + 5p - 5t - p^2 = (tp - 5t) + (5p - p^2) = t(p - 5) - p(p - 5) = (p - 5)(t - p)$.

9. Нехай шукані числа це $n, n+1, n+2, n+3$.
Добуток першого і третього: $n(n+2)$.
Добуток другого і четвертого: $(n+1)(n+3)$.
Складемо рівняння за умовою:
$(n+1)(n+3) - n(n+2) = 31$
$(n^2 + 4n + 3) - (n^2 + 2n) = 31$
$n^2 + 4n + 3 - n^2 - 2n = 31$
$2n + 3 = 31$
$2n = 28$
$n = 14$.
Отже, шукані числа: 14, 15, 16, 17.
Відповідь: 14, 15, 16, 17.