ГДЗ до вправи 11.31 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 11.31
Доведіть, що значення виразу є цілим числом:
$\frac{1}{\sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{1 \cdot 2} + \sqrt[3]{2^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{2^2} + \sqrt[3]{2 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt[3]{999^2} + \sqrt[3]{999 \cdot 1000} + \sqrt[3]{1000^2}}$.
Розв'язок вправи № 11.31
Коротке рішення
$\frac{1 \cdot (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{1})}{(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{1})(\sqrt[3]{2^2} + \sqrt[3]{2 \cdot 1} + \sqrt[3]{1^2})} + \dots + \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{999})}{(\sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{999})(\sqrt[3]{1000^2} + \sqrt[3]{1000 \cdot 999} + \sqrt[3]{999^2})} =$
$= \frac{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{1}}{2 - 1} + \frac{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}}{3 - 2} + \dots + \frac{\sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{999}}{1000 - 999} =$
$= \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2} + \dots + \sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{999} =$
$= \sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{1} = 10 - 1 = 9$.
$9 \in \mathbb{Z}$. Доведено.
Детальне рішення
Методична підказка: Кожен доданок суми має вигляд $\frac{1}{\sqrt[3]{n^2} + \sqrt[3]{n(n+1)} + \sqrt[3]{(n+1)^2}}$. Для спрощення використовуємо формулу різниці кубів: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Тема: Звільнення дробу від ірраціональності в знаменнику.
- Домножуємо чисельник і знаменник кожного дробу на спряжений вираз вигляду $(\sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n})$.
- Знаменники всіх дробів після спрощення стають рівними 1, оскільки $(n+1) - n = 1$.
- Отримана сума є телескопічною: всі проміжні члени взаємно знищуються.
- Залишається лише різниця між останнім та першим членами послідовності.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.