ГДЗ до вправи 11.27 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 11.27
Спростіть вираз:
- $\left( \frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x}-1} - \frac{4\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x}-1} \right) \cdot \frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x}-1}$;
- $\left( \frac{\sqrt[4]{a^3}-\sqrt[4]{b^3}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b} \right) \cdot \left( \sqrt[4]{\frac{a}{b}}+1 \right)$;
- $\frac{\sqrt[3]{2a + 2\sqrt{a^2-1}}}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}} + \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}} + 2}}$.
Розв'язок вправи № 11.27
Коротке рішення
1) Нехай $\sqrt[6]{x} = t, t > 0, t \neq 1$.
$\left( \frac{t+1}{t-1} - \frac{4t}{t^2-1} \right) \cdot \frac{t^2+t}{t-1} = \frac{(t+1)^2-4t}{t^2-1} \cdot \frac{t(t+1)}{t-1} = \frac{t^2+2t+1-4t}{(t-1)(t+1)} \cdot \frac{t(t+1)}{t-1} =$
$= \frac{(t-1)^2}{t-1} \cdot \frac{t}{t-1} = \frac{t-1}{1} \cdot \frac{t}{t-1} = t = \sqrt[6]{x}$.
2) Нехай $\sqrt[4]{a} = x, \sqrt[4]{b} = y$.
$\left( \frac{x^3-y^3}{x^2-y^2} - x - y \right) \cdot \left( \frac{x}{y} + 1 \right) = \left( \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x+y)} - (x+y) \right) \cdot \frac{x+y}{y} =$
$= \left( \frac{x^2+xy+y^2 - (x+y)^2}{x+y} \right) \cdot \frac{x+y}{y} = \frac{x^2+xy+y^2-x^2-2xy-y^2}{x+y} \cdot \frac{x+y}{y} =$
$= \frac{-xy}{y} = -x = -\sqrt[4]{a}$.
3) $\frac{\sqrt[3]{2a + 2\sqrt{a^2-1}}}{\sqrt[3]{\frac{a-1+a+1+2\sqrt{a^2-1}}{\sqrt{a^2-1}}}} = \sqrt[3]{\frac{2a+2\sqrt{a^2-1}}{1} \cdot \frac{\sqrt{a^2-1}}{2a+2\sqrt{a^2-1}}} = \sqrt[3]{\sqrt{a^2-1}} =$
$= \sqrt[6]{a^2-1}$.
Детальне рішення
Методичний коментар: Для спрощення виразів з коренями різних степенів найефективнішим є метод заміни змінної. Це дозволяє перейти до раціональних дробів. Також використовуються формули скороченого множення для підкореневих виразів. Тема: Властивості кореня n-го степеня.
- У першому прикладі заміна $\sqrt[6]{x}=t$ спрощує вираз до множення раціональних дробів, де чисельник після зведення до спільного знаменника стає квадратом різниці.
- У другому прикладі використовується розклад різниці кубів та різниці квадратів для спрощення першого дробу в дужках.
- У третьому прикладі вираз у знаменнику зводиться до спільного знаменника $\sqrt{a^2-1}$, після чого чисельники дробів у головному діленні скорочуються.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.