До змісту

ГДЗ до вправи 12.22 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 12.22

Спростіть вираз:

x−yx34+x12y14⋅x12y14+x14y12x12+y12⋅x14y−14x12−2x14y14+y12 \frac{x - y}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}}

Розв'язок вправи № 12.22

Коротке рішення

x−yx34+x12y14⋅x12y14+x14y12x12+y12⋅x14y−14x12−2x14y14+y12= \frac{x - y}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}} = =(x12−y12)(x12+y12)x12(x14+y14)⋅x14y14(x14+y14)x12+y12⋅x14y−14(x14−y14)2= = \frac{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}})} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}}}{(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})^2} = =(x14−y14)(x14+y14)(x12+y12)x12(x14+y14)⋅x14y14(x14+y14)x12+y12⋅x14y−14(x14−y14)2= = \frac{(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}})} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}}}{(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})^2} = =(x12+y12)⋅x14y14(x14+y14)⋅x14y−14x12(x12+y12)(x14−y14)=x12(x14+y14)x12(x14−y14)=x14+y14x14−y14 = \frac{(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) \cdot x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}) \cdot x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})} = \frac{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})} = \frac{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}}

Детальне рішення

Спрощення виконується за допомогою розкладання на множники кожного дробу окремо з подальшим скороченням спільних множників у чисельнику та знаменнику. Більше про це: Функції та їх властивості.

  • У першому дробі чисельник подано як різницю квадратів (x12)2−(y12)2 (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 , а в знаменнику винесено спільний множник x12 x^{\frac{1}{2}} .
  • У другому дробі в чисельнику винесено x14y14 x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} .
  • У третьому дробі знаменник згорнуто за формулою квадрата різниці (x14−y14)2 (x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})^2 .
  • При перемноженні враховуємо властивість степенів з однаковою основою: y14⋅y−14=y0=1 y^{\frac{1}{4}} \cdot y^{-\frac{1}{4}} = y^0 = 1 та x14⋅x14=x12 x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{2}} .

Популярне у 10 класі