ГДЗ до вправи 12.24 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 12.24
Обчисліть добуток $ x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{8}} \cdot \dots \cdot x^{\frac{1}{64}} $, якщо $ x = 2^{-\frac{64}{9}} $.
Розв'язок вправи № 12.24
Коротке рішення
$$ x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{64}} = x^{S_n} $$
$$ b_1 = \frac{1}{2}; \quad q = \frac{1}{2}; \quad b_n = \frac{1}{64} $$
$$ n = 6; \quad S_6 = \frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64} $$
$$ (2^{-\frac{64}{9}})^{\frac{63}{64}} = 2^{-\frac{64}{9} \cdot \frac{63}{64}} = 2^{-7} = \frac{1}{128} $$
Детальне рішення
Спрощення добутку степенів виконується через суму їхніх показників. У цій задачі показники утворюють геометричну прогресію зі знаменником 0,5. Актуальна теорія доступна за посиланням: Функції та їх властивості.
- Сумуємо показники степенів, використовуючи формулу суми $ n $ членів геометричної прогресії. Кількість членів визначаємо з умови останнього степеня $ \frac{1}{2^6} $.
- Отриманий результат сумування $ \frac{63}{64} $ підставляємо як загальний показник степеня для основи $ x $.
- Використовуємо значення $ x $ з умови та перемножуємо показники для отримання остаточної відповіді у вигляді цілого числа або звичайного дробу.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.