ГДЗ до вправи 22.1 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 22.1
Спростіть вираз:
- $ (1 + \text{tg } \alpha)^2 + (1 - \text{tg } \alpha)^2 $;
- $ \sin^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha $;
- $ \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} $;
- $ \frac{\text{ctg } \alpha}{\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha} $;
- $ \frac{1 - \text{ctg } \gamma}{1 - \text{tg } \gamma} $;
- $ \cos^4 \alpha - \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha $;
- $ \sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha $;
- $ \cos(-\alpha) + \cos \alpha \text{tg}^2(-\alpha) $.
Розв'язок вправи № 22.1
Коротке рішення
1) $ 1 + 2\text{tg } \alpha + \text{tg}^2 \alpha + 1 - 2\text{tg } \alpha + \text{tg}^2 \alpha = 2 + 2\text{tg}^2 \alpha = 2(1 + \text{tg}^2 \alpha) = \frac{2}{\cos^2 \alpha} $
2) $ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 = 1^2 = 1 $
3) $ \frac{\sin^2 \alpha + (1 + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{\sin^2 \alpha + 1 + 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{2 + 2\cos \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{2(1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{2}{\sin \alpha} $
4) $ \text{ctg } \alpha \div \left( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right) = \text{ctg } \alpha \div \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha \cos \alpha = \cos^2 \alpha $
5) $ \frac{1 - \frac{1}{\text{tg } \gamma}}{1 - \text{tg } \gamma} = \frac{\frac{\text{tg } \gamma - 1}{\text{tg } \gamma}}{1 - \text{tg } \gamma} = \frac{- (1 - \text{tg } \gamma)}{\text{tg } \gamma (1 - \text{tg } \gamma)} = -\frac{1}{\text{tg } \gamma} = -\text{ctg } \gamma $
6) $ \cos^2 \alpha (\cos^2 \alpha - 1) + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha (-\sin^2 \alpha) + \sin^2 \alpha =$
$= \sin^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha) = \sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha = \sin^4 \alpha $
7) $ \sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha (1) + \cos^2 \alpha = 1 $
8) $ \cos \alpha + \cos \alpha (-\text{tg } \alpha)^2 = \cos \alpha (1 + \text{tg}^2 \alpha) = \cos \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha} $
Детальне рішення
Для спрощення використовуються формули скороченого множення та основні тригонометричні тотожності. Теорія: Тригонометричні тотожності.
- У пункті 1 розкриваємо квадрати двочленів; доданки $ 2\text{tg } \alpha $ та $ -2\text{tg } \alpha $ взаємно знищуються.
- У пункті 2 вираз згортається у квадрат суми синуса та косинуса квадратів аргументу.
- У пунктах 3-5 виконуємо зведення до спільного знаменника та використовуємо визначення тангенса і котангенса.
- У пунктах 6-7 використовуємо винесення спільного множника за дужки для застосування тотожності $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
- У пункті 8 враховуємо парність косинуса $ \cos(-\alpha) = \cos \alpha $ та те, що квадрат непарної функції тангенса залишається додатним.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.