До змісту

ГДЗ до вправи 23.22 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 23.22

Доведіть тотожність:

  1. cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=cos⁡2α−sin⁡2β; \cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta;
  2. tg (α+β)−(tg α+tg β)−tg (α+β) tg α tg β=0. \text{tg } (\alpha + \beta) - (\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta) - \text{tg } (\alpha + \beta) \text{ tg } \alpha \text{ tg } \beta = 0.

Розв'язок вправи № 23.22

Коротке рішення

1) (cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)= (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) =
=cos⁡2αcos⁡2β−sin⁡2αsin⁡2β=cos⁡2α(1−sin⁡2β)−(1−cos⁡2α)sin⁡2β== \cos^2 \alpha \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta = \cos^2 \alpha (1 - \sin^2 \beta) - (1 - \cos^2 \alpha) \sin^2 \beta =
=cos⁡2α−cos⁡2αsin⁡2β−sin⁡2β+cos⁡2αsin⁡2β=cos⁡2α−sin⁡2β= \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta - \sin^2 \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta

2) tg (α+β)(1−tg α tg β)−(tg α+tg β)= \text{tg } (\alpha + \beta) (1 - \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta) - (\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta) =
=tg α+tg β1−tg α tg β⋅(1−tg α tg β)−(tg α+tg β)== \frac{\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta}{1 - \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta} \cdot (1 - \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta) - (\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta) =
=tg α+tg β−tg α−tg β=0= \text{tg } \alpha + \text{tg } \beta - \text{tg } \alpha - \text{tg } \beta = 0

Детальне рішення

Для доведення тотожностей використовуємо формули косинуса суми та різниці, а також перетворення формули тангенса суми. Довідник: Формули додавання.

  • У першому пункті добуток розкривається як різниця квадратів. Оскільки в правій частині тотожності присутні лише cos⁡2α \cos^2 \alpha та sin⁡2β \sin^2 \beta , ми замінюємо решту функцій за допомогою основної тригонометричної тотожності (cos⁡2β=1−sin⁡2β \cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta та sin⁡2α=1−cos⁡2α \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha ). Після розкриття дужок зайві доданки скорочуються.
  • У другому пункті групуємо перший та третій доданки, виносячи tg (α+β) \text{tg } (\alpha + \beta) за дужки. Використовуючи формулу tg (α+β)=tg α+tg β1−tg α tg β \text{tg } (\alpha + \beta) = \frac{\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta}{1 - \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta} , бачимо, що добуток tg (α+β)(1−tg α tg β) \text{tg } (\alpha + \beta) (1 - \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta) дорівнює сумі тангенсів tg α+tg β \text{tg } \alpha + \text{tg } \beta , що призводить до повного обнулення виразу.

Популярне у 10 класі