ГДЗ до вправи 24.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $ \frac{\sin (\pi + \alpha) \cos (2\pi - \alpha)}{\text{tg} (\pi - \alpha) \cos (\pi - \alpha)} = \frac{-\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{-\text{tg} \alpha \cdot (-\cos \alpha)} = \frac{-\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha} = \frac{-\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha} = -\cos \alpha $

---

2) $ \sin (\pi - \beta) \cos (\beta - \frac{\pi}{2}) - \sin (\frac{\pi}{2} + \beta) \cos (\pi - \beta) = \sin \beta \cdot \sin \beta - \cos \beta \cdot (-\cos \beta) = \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 $

---

3) $ \sin^2 (\pi - x) + \text{tg}^2 (\pi - x) \text{tg}^2 (\frac{3\pi}{2} + x) + \sin (\frac{\pi}{2} + x) \cos (x - 2\pi) = \sin^2 x + (-\text{tg} x)^2 \cdot (-\text{ctg} x)^2 + \cos x \cdot \cos x = \sin^2 x + \text{tg}^2 x \cdot \text{ctg}^2 x + \cos^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x) + 1 = 1 + 1 = 2 $

---

4) $ (\sin (\frac{\pi}{2} - x) + \sin (\pi - x))^2 + (\cos (\frac{3\pi}{2} - x) + \cos (2\pi - x))^2 = (\cos x + \sin x)^2 + (-\sin x + \cos x)^2 = \cos^2 x + 2 \sin x \cos x + \sin^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 1 = 2 $

---

5) $ \frac{\text{ctg} (\frac{\pi}{2} - \alpha) (\sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha) + \sin (\pi + \alpha))}{\text{ctg} (\pi + \alpha) (\cos (2\pi + \alpha) - \sin (2\pi - \alpha))} = \frac{\text{tg} \alpha \cdot (-\cos \alpha - \sin \alpha)}{\text{ctg} \alpha \cdot (\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{-\text{tg} \alpha \cdot (\cos \alpha + \sin \alpha)}{\text{ctg} \alpha \cdot (\cos \alpha + \sin \alpha)} = -\frac{\text{tg} \alpha}{\text{ctg} \alpha} = -\frac{\text{tg} \alpha}{\frac{1}{\text{tg} \alpha}} = -\text{tg}^2 \alpha $

• У першому пункті враховуємо знаки функцій у чвертях одиничного кола. $ \sin (\pi + \alpha) $ знаходиться у III чверті (знак мінус), а $ \cos (2\pi - \alpha) $ — у IV чверті (знак плюс).
• У другому пункті використано парність косинуса: $ \cos(\beta - \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} - \beta) = \sin \beta $.
• У третьому та четвертому пунктах застосовано основну тригонометричну тотожність $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ та властивість добутку тангенса на котангенс одного аргументу.
• У п'ятому пункті вираз спрощується після винесення мінуса за дужки в чисельнику, що дозволяє скоротити однакові тригонометричні суми.