ГДЗ до вправи 24.4 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $ \frac{\sin (\pi - \alpha) \sin (\alpha + 2\pi)}{\text{tg} (\pi + \alpha) \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha)} = \frac{\sin \alpha \cdot \sin \alpha}{\text{tg} \alpha \cdot (-\sin \alpha)} = \frac{\sin \alpha}{-\text{tg} \alpha} = \frac{\sin \alpha}{-\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = -\cos \alpha $

2) $ \frac{\text{tg} (180^\circ - \alpha) \cos (180^\circ - \alpha) \text{tg} (90^\circ - \alpha)}{\sin (90^\circ + \alpha) \text{ctg} (90^\circ + \alpha) \text{tg} (90^\circ + \alpha)} = \frac{-\text{tg} \alpha \cdot (-\cos \alpha) \cdot \text{ctg} \alpha}{\cos \alpha \cdot (-\text{tg} \alpha) \cdot (-\text{ctg} \alpha)} = \frac{\tan \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \text{ctg} \alpha}{\cos \alpha \cdot \tan \alpha \cdot \text{ctg} \alpha} = 1 $

3) $ \sin (2\pi - \varphi) \text{tg} (\frac{3\pi}{2} - \varphi) - \cos (\varphi - \pi) - \sin (\varphi - \pi) = -\sin \varphi \cdot \text{ctg} \varphi - (-\cos \varphi) - (-\sin \varphi) = -\sin \varphi \cdot \frac{\cos \varphi}{\sin \varphi} + \cos \varphi + \sin \varphi = -\cos \varphi + \cos \varphi + \sin \varphi = \sin \varphi $

4) $ \frac{\sin (\pi - \alpha) \cos (\pi + \alpha) \text{tg} (\pi - \alpha)}{\sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha) \text{ctg} (\frac{3\pi}{2} + \alpha) \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha)} = \frac{\sin \alpha \cdot (-\cos \alpha) \cdot (-\text{tg} \alpha)}{-\cos \alpha \cdot (-\text{tg} \alpha) \cdot (-\sin \alpha)} = \frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \text{tg} \alpha}{-\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \text{tg} \alpha} = -1 $

• У першому пункті після зведення аргументів дріб спрощується шляхом скорочення синуса. Кінцевий результат дорівнює правій частині тотожності.
• У другому пункті в чисельнику та знаменнику утворюються однакові добутки $ \tan \alpha \cdot \text{ctg} \alpha $, які дорівнюють 1. Весь дріб скорочується до одиниці.
• У третьому пункті враховано парність косинуса $ \cos(x - \pi) = \cos(\pi - x) = -\cos x $ та непарність синуса.
• У четвертому пункті кожен множник замінюється на відповідну функцію кута $ \alpha $. Парна кількість мінусів у чисельнику дає плюс, а непарна у знаменнику — мінус, що призводить до відповіді $-1$.