ГДЗ до вправи 26.20 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 26.20
Доведіть рівність:
$\cos \frac{\pi}{19} + \cos \frac{3\pi}{19} + \dots + \cos \frac{17\pi}{19} = \frac{1}{2}$.
Розв'язок вправи № 26.20
Коротке рішення
$S = \cos \frac{\pi}{19} + \cos \frac{3\pi}{19} + \dots + \cos \frac{17\pi}{19}$. Помножимо на $2 \sin \frac{\pi}{19}$:
$2 \sin \frac{\pi}{19} S = 2 \sin \frac{\pi}{19} \cos \frac{\pi}{19} + 2 \sin \frac{\pi}{19} \cos \frac{3\pi}{19} + \dots + 2 \sin \frac{\pi}{19} \cos \frac{17\pi}{19} = $
$ = \sin \frac{2\pi}{19} + \sin \frac{4\pi}{19} - \sin \frac{2\pi}{19} + \sin \frac{6\pi}{19} - \sin \frac{4\pi}{19} + \dots + \sin \frac{18\pi}{19} - \sin \frac{16\pi}{19} = $
$ = \sin \frac{18\pi}{19} = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{19} \right) = \sin \frac{\pi}{19}$.
$S = \frac{\sin \frac{\pi}{19}}{2 \sin \frac{\pi}{19}} = \frac{1}{2}$.
Детальне рішення
Для знаходження суми косинусів, аргументи яких утворюють арифметичну прогресію, застосовується метод множення на подвоєний синус половини різниці прогресії. Довідник: Формули добутку тригонометричних функцій.
- Крок 1: Різниця між сусідніми аргументами становить $\frac{2\pi}{19}$. Половина цієї різниці — $\frac{\pi}{19}$. Помножимо весь вираз на $2 \sin \frac{\pi}{19}$.
- Крок 2: Використовуємо формулу $2 \sin x \cos y = \sin(x + y) + \sin(x - y)$ для кожного доданка. Перший доданок згортається у $\sin \frac{2\pi}{19}$, а наступні утворюють пари, що взаємно знищуються.
- Крок 3: Після спрощення телескопічної суми залишається лише $\sin \frac{18\pi}{19}$. За формулами зведення це значення тотожне $\sin \frac{\pi}{19}$.
- Крок 4: Ділимо отриманий результат на введений множник, що дає константу $\frac{1}{2}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.