ГДЗ до вправи 26.18 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin 4\alpha + \sin 4\beta + \sin 4\gamma = 2 \sin(2\alpha + 2\beta) \cos(2\alpha - 2\beta) + 2 \sin 2\gamma \cos 2\gamma = $

$ = -2 \sin 2\gamma \cos(2\alpha - 2\beta) + 2 \sin 2\gamma \cos 2\gamma = -2 \sin 2\gamma (\cos(2\alpha - 2\beta) - \cos(2\alpha + 2\beta)) = -4 \sin 2\alpha \sin 2\beta \sin 2\gamma$.

---

2) $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + 1 - 2 \sin^2 \frac{\gamma}{2} = 1 + 2 \sin \frac{\gamma}{2} (\cos \frac{\alpha - \beta}{2} - \sin \frac{\gamma}{2}) = $

$ = 1 + 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} (\cos \frac{\alpha - \beta}{2} - \cos \frac{\alpha + \beta}{2}) = 1 + 4 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2}$. (через заміну кутів)

---

3) $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 + \cos 2\beta}{2} + \cos^2 \gamma = 1 + \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) + \cos^2 \gamma = $

$ = 1 - \cos \gamma \cos(\alpha - \beta) + \cos^2 \gamma = 1 - \cos \gamma (\cos(\alpha - \beta) - \cos \gamma) = 1 - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$.

• У першому пункті сума синусів $4\alpha$ та $4\beta$ перетворюється за допомогою аргументу $2\gamma$, враховуючи періодичність та знаки функцій.
• У другому пункті використано зв'язок між половинними кутами. Заміна $\sin \frac{\gamma}{2}$ на $\cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ дозволяє згорнути вираз у добуток трьох косинусів.
• У третьому пункті пониження степеня квадратів косинусів приводить до виразу з $\cos \gamma$, де використання формули суми косинусів дає шуканий результат.