До змісту

ГДЗ до вправи 26.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 26.3

Перетворіть у добуток вираз:

  1. 1−2cos⁡α1 - 2 \cos \alpha;
  2. 3+2cos⁡α\sqrt{3} + 2 \cos \alpha;
  3. 1−2sin⁡α1 - \sqrt{2} \sin \alpha;
  4. 3+ctg α\sqrt{3} + \text{ctg } \alpha.

Розв'язок вправи № 26.3

Коротке рішення

1) 1−2cos⁡α=2(12−cos⁡α)=2(cos⁡60∘−cos⁡α)=1 - 2 \cos \alpha = 2 \left( \frac{1}{2} - \cos \alpha \right) = 2 (\cos 60^\circ - \cos \alpha) =
=−4sin⁡(60∘+α2)sin⁡(60∘−α2)= -4 \sin \left( \frac{60^\circ + \alpha}{2} \right) \sin \left( \frac{60^\circ - \alpha}{2} \right)

2) 3+2cos⁡α=2(32+cos⁡α)=2(cos⁡30∘+cos⁡α)=\sqrt{3} + 2 \cos \alpha = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos \alpha \right) = 2 (\cos 30^\circ + \cos \alpha) =
=4cos⁡(30∘+α2)cos⁡(30∘−α2)= 4 \cos \left( \frac{30^\circ + \alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{30^\circ - \alpha}{2} \right)

3) 1−2sin⁡α=2(22−sin⁡α)=2(sin⁡45∘−sin⁡α)=1 - \sqrt{2} \sin \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin \alpha \right) = \sqrt{2} (\sin 45^\circ - \sin \alpha) =
=22sin⁡(45∘−α2)cos⁡(45∘+α2)= 2\sqrt{2} \sin \left( \frac{45^\circ - \alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{45^\circ + \alpha}{2} \right)

4) 3+ctg α=ctg 30∘+ctg α=sin⁡(30∘+α)sin⁡30∘sin⁡α=sin⁡(30∘+α)12sin⁡α=2sin⁡(30∘+α)sin⁡α\sqrt{3} + \text{ctg } \alpha = \text{ctg } 30^\circ + \text{ctg } \alpha = \frac{\sin (30^\circ + \alpha)}{\sin 30^\circ \sin \alpha} = \frac{\sin (30^\circ + \alpha)}{\frac{1}{2} \sin \alpha} = \frac{2 \sin (30^\circ + \alpha)}{\sin \alpha}

Детальне рішення

Для перетворення суми або різниці у добуток необхідно привести вираз до вигляду, де кожен доданок представлений однією тригонометричною функцією. Теорія: Сума і різниця тригонометричних функцій.

  • У перших трьох пунктах за дужки виноситься числовий коефіцієнт, щоб отримати табличне значення тригонометричної функції. Це дозволяє застосувати формули суми/різниці синусів або косинусів.
  • У четвертому пункті використовуємо формулу суми котангенсів: ctg x+ctg y=sin⁡(x+y)sin⁡xsin⁡y\text{ctg } x + \text{ctg } y = \frac{\sin (x + y)}{\sin x \sin y}. Представивши 3\sqrt{3} як котангенс 3030 градусів, отримуємо компактний добуток (відношення).

Популярне у 10 класі