ГДЗ до вправи 26.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 26.3
Перетворіть у добуток вираз:
- $1 - 2 \cos \alpha$;
- $\sqrt{3} + 2 \cos \alpha$;
- $1 - \sqrt{2} \sin \alpha$;
- $\sqrt{3} + \text{ctg } \alpha$.
Розв'язок вправи № 26.3
Коротке рішення
1) $1 - 2 \cos \alpha = 2 \left( \frac{1}{2} - \cos \alpha \right) = 2 (\cos 60^\circ - \cos \alpha) = -4 \sin \left( \frac{60^\circ + \alpha}{2} \right) \sin \left( \frac{60^\circ - \alpha}{2} \right)$
2) $\sqrt{3} + 2 \cos \alpha = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos \alpha \right) = 2 (\cos 30^\circ + \cos \alpha) = 4 \cos \left( \frac{30^\circ + \alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{30^\circ - \alpha}{2} \right)$
3) $1 - \sqrt{2} \sin \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin \alpha \right) = \sqrt{2} (\sin 45^\circ - \sin \alpha) = 2\sqrt{2} \sin \left( \frac{45^\circ - \alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{45^\circ + \alpha}{2} \right)$
4) $\sqrt{3} + \text{ctg } \alpha = \text{ctg } 30^\circ + \text{ctg } \alpha = \frac{\sin (30^\circ + \alpha)}{\sin 30^\circ \sin \alpha} = \frac{\sin (30^\circ + \alpha)}{\frac{1}{2} \sin \alpha} = \frac{2 \sin (30^\circ + \alpha)}{\sin \alpha}$
Детальне рішення
Для перетворення суми або різниці у добуток необхідно привести вираз до вигляду, де кожен доданок представлений однією тригонометричною функцією. Теорія: Сума і різниця тригонометричних функцій.
- У перших трьох пунктах за дужки виноситься числовий коефіцієнт, щоб отримати табличне значення тригонометричної функції. Це дозволяє застосувати формули суми/різниці синусів або косинусів.
- У четвертому пункті використовуємо формулу суми котангенсів: $\text{ctg } x + \text{ctg } y = \frac{\sin (x + y)}{\sin x \sin y}$. Представивши $\sqrt{3}$ як котангенс $30$ градусів, отримуємо компактний добуток (відношення).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.