ГДЗ до вправи 26.8 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $(\sin \alpha + \sin 3\alpha) - \sin 2\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha = \sin 2\alpha (2 \cos \alpha - 1) = 2 \sin \alpha \cos \alpha (2 \cos \alpha - 1)$. Права частина: $2 \cos \alpha (2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2}) = 2 \cos \alpha (\sin 2\alpha + \sin (-\alpha)) = 2 \cos \alpha \sin 2\alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha (2 \cos \alpha - 1)$.

---

2) $\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} - \frac{1 - \cos 2\beta}{2} = \frac{\cos 2\beta - \cos 2\alpha}{2} = \frac{-2 \sin (\beta + \alpha) \sin (\beta - \alpha)}{2} = \sin (\alpha + \beta) \sin (\alpha - \beta)$

---

3) $\frac{(\cos \alpha + \cos 5\alpha) - (\cos 2\alpha + \cos 4\alpha)}{(\sin \alpha + \sin 5\alpha) - (\sin 2\alpha + \sin 4\alpha)} = \frac{2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha - 2 \cos 3\alpha \cos \alpha}{2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha - 2 \sin 3\alpha \cos \alpha} = \frac{2 \cos 3\alpha (\cos 2\alpha - \cos \alpha)}{2 \sin 3\alpha (\cos 2\alpha - \cos \alpha)} = \text{ctg } 3\alpha$

---

4) $(2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2})^2 + (2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2})^2 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} (\sin^2 \frac{\alpha + \beta}{2} + \cos^2 \frac{\alpha + \beta}{2}) = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$

---

5) $\frac{\sin 4\alpha \cos \alpha - \cos 4\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\sin 3\alpha \sin \alpha} = \frac{\sin 3\alpha}{\frac{1}{2} \sin 2\alpha} \cdot \frac{2 \sin 2\alpha \cos \alpha}{\sin 3\alpha \sin \alpha} = \frac{4 \sin 3\alpha \sin 2\alpha \cos \alpha}{\sin 2\alpha \sin 3\alpha \sin \alpha} = 4 \text{ctg } \alpha$

• У першому пункті групуємо суму синусів з непарними аргументами. Після винесення синуса подвійного кута та перетворень у правій частині через синус суми, обидві частини рівності стають ідентичними.
• У другому пункті переходимо від квадратів до косинусів подвійних кутів. Різниця косинусів розкладається у добуток синусів, що відповідає шуканій тотожності.
• У третьому пункті застосовано парне групування доданків чисельника та знаменника. Після розкладання у добуток з'являються спільні множники, скорочення яких дає котангенс.
• У четвертому пункті кожна дужка розкладається як сума у добуток. Після піднесення до квадрата виноситься спільний множник, а залишок згортається в одиницю за основною тотожністю.
• У п'ятому пункті обидві дужки зводяться до спільних знаменників. Використання формул синуса різниці та суми синусів дозволяє скоротити вираз до котангенса з коефіцієнтом.