ГДЗ до вправи 26.5 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 26.5
Спростіть вираз:
- $\sin \alpha (1 + 2 \cos 2\alpha)$;
- $\cos 2\alpha + 2 \sin (\alpha + 30^\circ) \sin (\alpha - 30^\circ)$.
Розв'язок вправи № 26.5
Коротке рішення
1) $\sin \alpha (1 + 2 \cos 2\alpha) = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos 2\alpha =$
$= \sin \alpha + \sin(\alpha + 2\alpha) + \sin(\alpha - 2\alpha) = \sin \alpha + \sin 3\alpha - \sin \alpha = \sin 3\alpha$.
2) $\cos 2\alpha + 2 \sin (\alpha + 30^\circ) \sin (\alpha - 30^\circ) =$
$= \cos 2\alpha + 2 \cdot \frac{1}{2} (\cos((\alpha + 30^\circ) - (\alpha - 30^\circ)) - \cos((\alpha +$
$+ 30^\circ) + (\alpha - 30^\circ))) = \cos 2\alpha + \cos 60^\circ - \cos 2\alpha = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.
Детальне рішення
Для спрощення виразів застосовуються формули перетворення добутку синусів та синуса на косинус у суму. Теорія: Тригонометричні перетворення.
- У першому пункті після розкриття дужок використовуємо формулу $2 \sin x \cos y = \sin(x + y) + \sin(x - y)$. Спрощення аргументів призводить до взаємного знищення доданків $\sin \alpha$.
- У другому пункті добуток синусів перетворюється за формулою $2 \sin x \sin y = \cos(x - y) - \cos(x + y)$. Різниця аргументів дає кут $60$ градусів, а сума — подвоєний аргумент $2\alpha$, що скорочується з першим доданком виразу.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.