ГДЗ до вправи 30.22 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 30.22
Доведіть, що при $|x| \le 1$ виконується рівність $\cos (\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$.
Розв'язок вправи № 30.22
Коротке рішення
Нехай $\arcsin x = \alpha$, тоді $\sin \alpha = x, \quad \alpha \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$.
$\alpha \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] \Rightarrow \cos \alpha \ge 0 \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$.
$\cos (\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$, що і треба було довести.
Детальне рішення
Теоретичний довідник: Завдання базується на властивостях обернених тригонометричних функцій та основній тригонометричній тотожності $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Довідник: Співвідношення між тригонометричними функціями.
- Крок 1: Позначимо $\alpha = \arcsin x$. За означенням арксинуса, кут $\alpha$ належить проміжку $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$, а його синус $\sin \alpha = x$.
- Крок 2: Кут $\alpha$ знаходиться у межах від $-90^\circ$ до $90^\circ$ (IV та I чверті). У цих чвертях косинус кута завжди набуває невід'ємних значень ($\cos \alpha \ge 0$).
- Крок 3: Використовуючи тотожність $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$, виразимо косинус: $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$. Ми обираємо додатне значення кореня, оскільки $\cos \alpha$ не може бути від'ємним на заданому проміжку.
- Крок 4: Виконуємо зворотну підстановку: $\cos (\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$. Рівність доведена.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.