ГДЗ до вправи 31.16 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $4 \sin^4 x - 12 \cos^4 x + \cos 4x - 1 = 0$

$4 \sin^4 x - 12 \cos^4 x + (1 - 2 \sin^2 2x) - 1 = 0$

$4 \sin^4 x - 12 \cos^4 x - 8 \sin^2 x \cos^2 x = 0 \quad | : 4 \cos^4 x \neq 0$

$\text{tg}^4 x - 2 \text{tg}^2 x - 3 = 0$

$\text{tg}^2 x = 3 \Rightarrow \text{tg } x = \pm \sqrt{3} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $\pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\left( \frac{1 + \cos 6x}{2} \right)^2 + \left( \frac{1 + \cos (6x - \frac{\pi}{2})}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$

$\frac{1 + 2 \cos 6x + \cos^2 6x}{4} + \frac{1 + 2 \sin 6x + \sin^2 6x}{4} = \frac{1}{4}$

$1 + 2 \cos 6x + \cos^2 6x + 1 + 2 \sin 6x + \sin^2 6x = 1$

$2 + 2(\cos 6x + \sin 6x) + 1 = 1 \Rightarrow \sin 6x + \cos 6x = -1$

$\sqrt{2} \sin \left( 6x + \frac{\pi}{4} \right) = -1 \Rightarrow \sin \left( 6x + \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$6x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \text{ або } 6x + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}; \quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

• У першому пункті $\cos 4x$ розкладено як $1 - 2 \sin^2 2x$, що дозволило звести вираз до однорідного рівняння четвертого степеня відносно синуса та косинуса. Після ділення на $\cos^4 x$ отримано біквадратне рівняння щодо тангенса.
• У другому пункті використано формулу $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$. Важливо, що $\cos (2(3x - \frac{\pi}{4})) = \cos (6x - \frac{\pi}{2}) = \sin 6x$. Це значно спростило подальші алгебраїчні маніпуляції та дозволило застосувати метод допоміжного кута.