ГДЗ до вправи 31.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 31.12
Розв'яжіть рівняння: $\sin \frac{x}{2} \sin \frac{3x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{4}$.
Розв'язок вправи № 31.12
Коротке рішення
$\frac{1}{2}(\cos x - \cos 2x) + \frac{1 + \cos x}{2} = \frac{1}{4}$
$\cos x - \cos 2x + 1 + \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow 2\cos x - (2\cos^2 x - 1) + 1 = \frac{1}{2}$
$2\cos x - 2\cos^2 x + 2 = \frac{1}{2} \Rightarrow 4\cos^2 x - 4\cos x - 3 = 0$
$\cos x = t, |t| \le 1: \quad 4t^2 - 4t - 3 = 0 \Rightarrow D = 64 \Rightarrow t = -\frac{1}{2}$
$\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Відповідь: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Детальне рішення
При розв'язанні використано формулу добутку синусів: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$ та формулу пониження степеня для косинуса. Довідник: Тригонометричні формули.
- На першому етапі розкриваємо добуток функцій та замінюємо квадрат косинуса, що призводить рівняння до виразів з аргументами $x$ та $2x$.
- Використання формули косинуса подвійного кута $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ дозволяє звести задачу до квадратного рівняння відносно $\cos x$.
- Отримане квадратне рівняння розв'язується через дискримінант, після чого виконується відбір коренів за областю значень косинуса.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.