ГДЗ до вправи 31.13 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $3 \sin x - 8 \cos x = 3 \Rightarrow 3(\sin x - 1) = 8 \cos x$

$-3\left( \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} \right)^2 = 8\left( \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} \right)\left( \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \right)$

$\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \text{tg } \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$-3\cos \frac{x}{2} + 3\sin \frac{x}{2} = 8\cos \frac{x}{2} + 8\sin \frac{x}{2} \Rightarrow$
$\text{tg } \frac{x}{2} = -\frac{11}{5} \Rightarrow x = -2\text{arctg } \frac{11}{5} + 2\pi n$

Відповідь: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n, -2\text{arctg } \frac{11}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $2 \sin x - 5 \cos x = 3 \quad | : \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29}$

$\frac{2}{\sqrt{29}} \sin x - \frac{5}{\sqrt{29}} \cos x = \frac{3}{\sqrt{29}} \Rightarrow \sin(x - \text{arctg } \frac{5}{2}) = \frac{3}{\sqrt{29}}$

$x = \text{arctg } \frac{5}{2} + (-1)^n \arcsin \frac{3}{\sqrt{29}} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $\text{arctg } \frac{5}{2} + (-1)^n \arcsin \frac{3}{\sqrt{29}} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

• У першому пункті, оскільки коефіцієнт при синусі дорівнює вільному члену, використано розклад на множники через формули половинного кута. Це дозволило отримати дві серії розв'язків через тангенс.
• У другому пункті застосовано загальний метод допоміжного кута. Після ділення на корінь із суми квадратів коефіцієнтів рівняння звелося до найпростішого синусоїдального рівняння.