ГДЗ до вправи 31.29 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $2 \sin^2 x - \sin x = 0 \Rightarrow \sin x (2 \sin x - 1) = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \text{ або } \sin x = \frac{1}{2}$

Корені в порядку зростання, починаючи з 0: $x_1 = 0, x_2 = \frac{\pi}{6}, x_3 = \frac{5\pi}{6}, x_4 = \pi, \dots$

Рівно три корені в $[0; a]$, якщо $x_3 \le a < x_4 \Rightarrow \frac{5\pi}{6} \le a < \pi$.

Відповідь: $\frac{5\pi}{6} \le a < \pi$.

---

2) $2 \cos^2 x - \sqrt{3} \cos x = 0 \Rightarrow \cos x (2 \cos x - \sqrt{3}) = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \text{ або } \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Корені в порядку зростання на $[0; +\infty)$: $x_1 = \frac{\pi}{6}, x_2 = \frac{\pi}{2}, x_3 = \frac{3\pi}{2}, x_4 = \frac{11\pi}{6}, \dots$

Рівно три корені в $[0; a]$, якщо $x_3 \le a < x_4 \Rightarrow \frac{3\pi}{2} \le a < \frac{11\pi}{6}$.

Відповідь: $\frac{3\pi}{2} \le a < \frac{11\pi}{6}$.

• У першому пункті після розкладання на множники ми знаходимо дві серії коренів. Оскільки інтервал починається з нуля, корінь $x=0$ є першим. Наступні корені визначаються за допомогою тригонометричного кола. Для наявності рівно трьох коренів параметр $a$ має бути не меншим за третій корінь, але строго меншим за четвертий.
• У другому пункті алгоритм аналогічний, проте корінь $x=0$ не є розв'язком рівняння. Першим коренем на проміжку $[0; a]$ стає $\frac{\pi}{6}$. Обчислюємо наступні корені та встановлюємо межі для $a$, щоб четвертий корінь не потрапив у заданий проміжок.