ГДЗ до вправи 31.33 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin x = 2 \sin^2 x \Rightarrow \sin x (1 - 2 \sin x) = 0 \Rightarrow \sin x = 0, \sin x = \frac{1}{2}$.

2) $\sin 3x = (a+1) \sin x - 2(a-1) \sin^2 x \Rightarrow$
$3 \sin x - 4 \sin^3 x = (a+1) \sin x - 2(a-1) \sin^2 x$

$4 \sin^3 x - 2(a-1) \sin^2 x + (a-2) \sin x = 0 \Rightarrow$
$\sin x [ 4 \sin^2 x - 2(a-1) \sin x + (a-2) ] = 0$

$t = \sin x: \quad t = 0, \quad 4t^2 - 2(a-1)t + (a-2) = 0, \quad D = 4(a-3)^2$

Корені для $\sin x$: $t = 0; \quad t = \frac{1}{2}; \quad t = \frac{a-2}{2}$.

Рівносильність при $\frac{a-2}{2} \in \{ 0, \frac{1}{2} \} \cup (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$:

— $\frac{a-2}{2} = 0 \Rightarrow a = 2$;

— $\frac{a-2}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 3$;

— $\frac{a-2}{2} > 1 \Rightarrow a > 4$; $\quad \frac{a-2}{2} < -1 \Rightarrow a < 0$.

Відповідь: $a \in (-\infty; 0) \cup \{2, 3\} \cup (4; +\infty)$.

• Етап 1: Знаходимо корені першого рівняння. Розкладаємо його на множники: $\sin x (1 - 2 \sin x) = 0$. Отримуємо, що синус може дорівнювати лише $0$ або $\frac{1}{2}$. Це і є базовий набір розв'язків.
• Етап 2: Перетворюємо друге рівняння. Використовуємо формулу потрійного аргументу $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$. Після перенесення всіх членів в одну сторону та винесення $\sin x$ за дужки, отримуємо квадратне рівняння відносно $\sin x$.
• Етап 3: Аналізуємо корені другого рівняння. Корені виразу в дужках за допомогою дискримінанта: $t_1 = \frac{1}{2}$ та $t_2 = \frac{a-2}{2}$. Отже, друге рівняння має корені $\sin x = 0, \sin x = \frac{1}{2}, \sin x = \frac{a-2}{2}$.
• Етап 4: Умова рівносильності. Щоб набори коренів збіглися, третій корінь $\frac{a-2}{2}$ має або збігатися з уже наявними ($0$ чи $\frac{1}{2}$), або не давати розв'язків взагалі (тобто бути за межами проміжку $[-1; 1]$).