ГДЗ до вправи 31.31 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$\sin^2 x - \left( a + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \sin x + \frac{a \sqrt{2}}{2} = 0 \Rightarrow (\sin x - a)\left( \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 0$

1) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. На проміжку $\left[ 0; \frac{4\pi}{3} \right]$ маємо 2 сталі корені: $x_1 = \frac{\pi}{4}, x_2 = \frac{3\pi}{4}$.

2) $\sin x = a$. Кількість коренів залежить від $a$: на $[0; \frac{4\pi}{3}]$ синус набуває значень від $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ до $1$.

---

1) Два корені: $\sin x = a$ не додає нових коренів або вони збігаються з $x_1, x_2$. Це можливо при $a < -\frac{\sqrt{3}}{2}, a > 1$ або $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Відповідь: $a \in \left( -\infty; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cup \left\{ \frac{\sqrt{2}}{2} \right\} \cup (1; +\infty)$.

---

2) Три корені: $\sin x = a$ дає 1 новий корінь. Це можливо при $a = 1$ або $a \in \left[ -\frac{\sqrt{3}}{2}; 0 \right)$.

Відповідь: $a \in \left[ -\frac{\sqrt{3}}{2}; 0 \right) \cup \{ 1 \}$.

---

3) Не менше трьох коренів: рівняння має 3 або 4 корені. Це виконується при $a \in \left[ -\frac{\sqrt{3}}{2}; 1 \right]$, крім $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Відповідь: $a \in \left[ -\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cup \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; 1 \right]$.

• Рівняння розкладається на два найпростіших. Перше дає два корені, що завжди належать проміжку: $45^\circ$ та $135^\circ$.
• Аналізуємо функцію $y = \sin x$ на $\left[ 0; \frac{4\pi}{3} \right]$. Значення синуса змінюються так: $0 \to 1 \to 0 \to -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0,87$.
• Кількість розв'язків $\sin x = a$ на цьому проміжку:
  • 2 корені, якщо $a \in [0; 1)$, причому один з них може збігатися з $x_1, x_2$;
  • 1 корінь, якщо $a = 1$ або $a \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$;
  • 0 коренів, якщо $a > 1$ або $a < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Підсумовуючи ці випадки та виключаючи збіг коренів (коли $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$), отримуємо відповіді для кожного пункту.