ГДЗ до вправи 32.28 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$\sqrt{1 - \text{ctg}^2 2\pi x} \cos \pi x + \sin \pi x = \sqrt{2}$

Оцінимо ліву частину $L$ за допомогою амплітуди:

$L_{max} = \sqrt{\left( \sqrt{1 - \text{ctg}^2 2\pi x} \right)^2 + 1^2} = \sqrt{1 - \text{ctg}^2 2\pi x + 1} = \sqrt{2 - \text{ctg}^2 2\pi x}$

Оскільки $\text{ctg}^2 2\pi x \ge 0$, то $L_{max} \le \sqrt{2}$. Рівність можлива лише при:

$\begin{cases} \text{ctg} 2\pi x = 0 \\ \cos \pi x + \sin \pi x = \sqrt{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2\pi x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ \sqrt{2} \sin(\pi x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \\ \pi x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \end{cases}$

$\begin{cases} x = \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \\ x = \frac{1}{4} + 2n \end{cases} \Rightarrow x = \frac{1}{4} + 2n, n \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $\frac{1}{4} + 2n, n \in \mathbb{Z}$.

• Крок 1: Розглядаємо ліву частину як лінійну комбінацію синуса та косинуса. Максимально можливе значення такої комбінації обчислюється як корінь із суми квадратів коефіцієнтів.
• Крок 2: Аналізуємо отриманий вираз $\sqrt{2 - \text{ctg}^2 2\pi x}$. Завдяки квадрату котангенса, це значення завжди менше або дорівнює $\sqrt{2}$.
• Крок 3: Оскільки права частина рівняння — це саме $\sqrt{2}$, ми встановлюємо систему умов: котангенс має бути рівним нулю, а решта виразу повинна задовольняти тотожність при цій умові.
• Крок 4: Знаходимо корені для обох умов системи. Друга умова дає конкретну серію значень $x$, яка повністю входить у множину розв'язків першої умови.