ГДЗ до вправи 32.30 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$(\sin(x - y) + 1)(2 \cos(2x - y) + 1) = 6$

Максимальні значення множників: $\sin(x-y) + 1 \le 2$ та $2 \cos(2x-y) + 1 \le 3$.

Добуток дорівнює $2 \cdot 3 = 6$ лише при одночасному досягненні максимумів:

$\begin{cases} \sin(x - y) = 1 \\ \cos(2x - y) = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ 2x - y = 2\pi k \end{cases}$

Віднімемо перше рівняння від другого: $(2x - y) - (x - y) = 2\pi k - (\frac{\pi}{2} + 2\pi n)$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(k - n) = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

$y = x - \frac{\pi}{2} - 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m - \frac{\pi}{2} - 2\pi n = -\pi + 2\pi(m - n) = \pi + 2\pi l$.

Відповідь: $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \pi + 2\pi k), n, k \in \mathbb{Z}$.

• Перший множник набуває найбільшого значення 2, а другий — 3. Оскільки їх добуток дорівнює 6, це можливо тільки у випадку, коли кожна функція дорівнює 1.
• Отримана система лінійних рівнянь щодо аргументів тригонометричних функцій розв'язується методом додавання або підстановки.
• Остаточний результат записується як пара значень $(x; y)$, де $n$ та $k$ — довільні цілі числа.