ГДЗ до вправи 32.27 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$\sqrt{3 - \text{tg}^2 \frac{3\pi x}{2}} \sin \pi x - \cos \pi x = 2$

Оцінимо ліву частину за формулою $A \sin \alpha + B \cos \alpha \le \sqrt{A^2 + B^2}$:

$L = \sqrt{\left( \sqrt{3 - \text{tg}^2 \frac{3\pi x}{2}} \right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 - \text{tg}^2 \frac{3\pi x}{2} + 1} = \sqrt{4 - \text{tg}^2 \frac{3\pi x}{2}}$

Оскільки $\text{tg}^2 \alpha \ge 0$, то $\sqrt{4 - \text{tg}^2 \frac{3\pi x}{2}} \le 2$. Рівність $L = 2$ можлива лише при:

$\begin{cases} \text{tg}^2 \frac{3\pi x}{2} = 0 \\ \sqrt{3} \sin \pi x - \cos \pi x = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{3\pi x}{2} = \pi k \\ 2 \sin(\pi x - \frac{\pi}{6}) = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{2k}{3} \\ \pi x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \end{cases}$

$\begin{cases} x = \frac{2k}{3} \\ x = \frac{2}{3} + 2n \end{cases} \Rightarrow x = \frac{2}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $\frac{2}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z}$.

• Крок 1: Аналізуємо ліву частину рівняння як вираз виду $A \sin(\pi x) - B \cos(\pi x)$. Коефіцієнт $A$ залежить від параметра $x$ через функцію тангенса під коренем.
• Крок 2: Обчислюємо амплітуду виразу. Ми бачимо, що через від'ємний квадрат тангенса під коренем амплітуда ніколи не перевищує значення $\sqrt{4} = 2$.
• Крок 3: Оскільки права частина рівняння дорівнює саме 2, нам необхідно знайти умови, за яких тангенс перетворюється на нуль, а тригонометрична частина досягає максимуму.
• Крок 4: Розв'язуємо отриману систему рівнянь. Друге рівняння системи за допомогою введення допоміжного кута дає серію коренів $\frac{2}{3} + 2n$, які автоматично задовольняють і першу умову системи.