ГДЗ до вправи 36.11 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $f(x) = -\frac{1}{x^2}$

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = -\frac{1}{(x + \Delta x)^2} - \left( -\frac{1}{x^2} \right) = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{(x + \Delta x)^2} =$
$= \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{x^2(x + \Delta x)^2} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{x^2(x + \Delta x)^2}$

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x + \Delta x}{x^2(x + \Delta x)^2}$

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x + \Delta x}{x^2(x + \Delta x)^2} = \frac{2x}{x^4} = \frac{2}{x^3}$

Відповідь: $\frac{2}{x^3}$.

---

2) $f(x) = x^2 + 3x - 2$

$\Delta f = ((x + \Delta x)^2 + 3(x + \Delta x) - 2) - (x^2 + 3x - 2) =$
$= x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2 - x^2 - 3x + 2$

$\Delta f = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x = \Delta x(2x + \Delta x + 3)$

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = 2x + \Delta x + 3 \Rightarrow f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 3) = 2x + 3$

Відповідь: $2x + 3$.

• У першому пункті при зведенні до спільного знаменника важливо врахувати зміну знаків та скоротити спільний множник $\Delta x$.
• У другому пункті ми розкриваємо квадрат суми та дужки, після чого взаємознищуємо доданки, що не містять $\Delta x$.