До змісту

ГДЗ до вправи 36.4 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 36.4

Продиференціюйте функцію:

1) y=x4y = \sqrt[4]{x};

2) y=x78y = \sqrt[8]{x^7};

3) y=1xy = \frac{1}{\sqrt{x}};

4) y=1x58y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^5}}.

Розв'язок вправи № 36.4

Коротке рішення

1) y=x4=x14⇒y′=14x14−1=14x−34=14x34y = \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}} \Rightarrow y' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}

2) y=x78=x78⇒y′=78x78−1=78x−18=78x8y = \sqrt[8]{x^7} = x^{\frac{7}{8}} \Rightarrow y' = \frac{7}{8}x^{\frac{7}{8}-1} = \frac{7}{8}x^{-\frac{1}{8}} = \frac{7}{8\sqrt[8]{x}}

3) y=1x=x−12⇒y′=−12x−12−1=−12x−32=−12x3y = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}

4) y=1x58=x−58⇒y′=−58x−58−1=−58x−138=−58x138y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^5}} = x^{-\frac{5}{8}} \Rightarrow y' = -\frac{5}{8}x^{-\frac{5}{8}-1} = -\frac{5}{8}x^{-\frac{13}{8}} = -\frac{5}{8\sqrt[8]{x^{13}}}

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Для знаходження похідної коренів спочатку перетворіть радикал у степінь за формулою xmn=xmn\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}. Потім застосуйте правило (xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}. Теорія: Похідна та її застосування.

  • У пунктах 3 та 4 враховано, що корінь знаходиться в знаменнику, тому показник степеня при диференціюванні є від'ємним.
  • Після обчислення похідної доцільно повертати результат до вигляду коренів для зручності читання.

Популярне у 10 класі