ГДЗ до вправи 41.14 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 41.14
У прямокутний трикутник з гіпотенузою $16\text{ см}$ і гострим кутом $30^\circ$ вписано прямокутник, дві вершини якого лежать на гіпотенузі, а дві інші — на катетах. Якими мають бути сторони прямокутника, щоб його площа була найбільшою?
Розв'язок вправи № 41.14
Коротке рішення
1) Катети трикутника: $a = 16 \sin 30^\circ = 8\text{ см}$, $b = 16 \cos 30^\circ = 8\sqrt{3}\text{ см}$.
2) Висота до гіпотенузи: $h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{8 \cdot 8\sqrt{3}}{16} = 4\sqrt{3}\text{ см}$.
3) Нехай висота прямокутника $x$. Основа $y$ за подібністю: $\frac{y}{16} = \frac{4\sqrt{3} - x}{4\sqrt{3}} \Rightarrow y = 16 - \frac{4x}{\sqrt{3}}$.
4) Площа $S(x) = 16x - \frac{4x^2}{\sqrt{3}}$. Похідна $S'(x) = 16 - \frac{8x}{\sqrt{3}}$.
5) $S'(x) = 0 \Rightarrow x = 2\sqrt{3}\text{ см}$. Тоді $y = 16 - \frac{4 \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8\text{ см}$.
Відповідь: $8\text{ см}$ та $2\sqrt{3}\text{ см}$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Найбільша площа вписаного прямокутника завжди досягається, коли його висота становить половину висоти трикутника, проведеної до відповідної сторони. Теорія: Екстремальні задачі в геометрії.
- Використовуємо тригонометричні співвідношення для знаходження катетів прямокутного трикутника.
- Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, розраховується за формулою $h = \frac{ab}{c}$.
- Встановлюємо функціональну залежність між сторонами вписаного прямокутника, базуючись на пропорційності елементів подібних трикутників.
- Аналіз критичної точки $x = 2\sqrt{3}$ показує, що вона є точкою максимуму для функції площі.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.