До змісту

ГДЗ до вправи 41.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 41.3

Знайдіть найбільше і найменше значення функції ff на вказаному відрізку:

1) f(x)=100−x2,[−6;8]f(x) = \sqrt{100 - x^2}, [-6; 8];

2) f(x)=0,5x2+3x+5,[2;4]f(x) = \sqrt{0,5x^2 + 3x + 5}, [2; 4];

3) f(x)=(x+1)2(x−2)2,[−2;4]f(x) = (x + 1)^2(x - 2)^2, [-2; 4];

4) f(x)=2x+x2,[−4;−1]f(x) = \frac{2}{x} + \frac{x}{2}, [-4; -1].

Розв'язок вправи № 41.3

Коротке рішення

1) f′(x)=−x100−x2f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}}. Критична точка x=0∈[−6;8]x = 0 \in [-6; 8].

f(−6)=8;f(0)=10;f(8)=6f(-6) = 8; f(0) = 10; f(8) = 6.

Відповідь: max⁡=10,min⁡=6\max = 10, \min = 6.

2) f′(x)=x+320,5x2+3x+5f'(x) = \frac{x + 3}{2\sqrt{0,5x^2 + 3x + 5}}. Критична точка x=−3∉[2;4]x = -3 \notin [2; 4].

Функція зростає на [2;4][2; 4]. f(2)=13;f(4)=5f(2) = \sqrt{13}; f(4) = 5.

Відповідь: max⁡=5,min⁡=13\max = 5, \min = \sqrt{13}.

3) f′(x)=2(x+1)(x−2)(2x−1)f'(x) = 2(x + 1)(x - 2)(2x - 1). Критичні точки в [−2;4][-2; 4]: −1;0,5;2-1; 0,5; 2.

f(−2)=16;f(−1)=0;f(0,5)=5,0625;f(2)=0;f(4)=100f(-2) = 16; f(-1) = 0; f(0,5) = 5,0625; f(2) = 0; f(4) = 100.

Відповідь: max⁡=100,min⁡=0\max = 100, \min = 0.

4) f′(x)=x2−42x2f'(x) = \frac{x^2 - 4}{2x^2}. У [−4;−1][-4; -1] входить x=−2x = -2.

f(−4)=−2,5;f(−2)=−2;f(−1)=−2,5f(-4) = -2,5; f(-2) = -2; f(-1) = -2,5.

Відповідь: max⁡=−2,min⁡=−2,5\max = -2, \min = -2,5.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Найбільше та найменше значення неперервної функції на відрізку шукають серед її значень у критичних точках усередині відрізка та значень на кінцях цього відрізка. Теорія: Алгоритм пошуку глобальних екстремумів.

  • У першому та другому прикладах ми маємо справу з ірраціональними функціями. Оскільки підкореневі вирази в межах заданих відрізків додатні, функції є неперервними, що дозволяє застосувати стандартну процедуру.
  • У третьому прикладі похідна добутку розкладається на три лінійні множники, що дає три внутрішні критичні точки. Важливо обчислити значення функції в кожній з них.
  • У четвертому прикладі функція має розрив у точці 00, але оскільки вона не входить у відрізок [−4;−1][-4; -1], функція залишається неперервною на всьому інтервалі розгляду.

Популярне у 10 класі