ГДЗ до вправи 41.7 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) Нехай перше число $x$, а друге — $y$. За умовою $x + y = 8$, звідси $x = 8 - y$. Оскільки числа невід'ємні, $y \in [0; 8]$.

2) Складемо функцію добутку: $f(y) = x \cdot y^3 = (8 - y)y^3 = 8y^3 - y^4$.

3) Знайдемо найбільше значення функції на відрізку $[0; 8]$. Похідна: $f'(y) = 24y^2 - 4y^3 = 4y^2(6 - y)$.

4) Критичні точки: $y = 0$ та $y = 6$. Обидві входять у проміжок.

5) $f(0) = 0$; $f(8) = 0$; $f(6) = (8 - 6) \cdot 6^3 = 2 \cdot 216 = 432$.

6) Найбільше значення досягається при $y = 6$. Тоді $x = 8 - 6 = 2$.

Відповідь: 2 і 6.

• Вибір змінної для піднесення до куба впливає на складність похідної. Зручніше виражати через ту змінну, яка підноситься до вищого степеня.
• Критична точка $y = 0$ не є точкою екстремуму, оскільки похідна не змінює знак при переході через неї (вона лише торкається осі).
• Точка $y = 6$ є точкою максимуму, оскільки ліворуч від неї похідна додатна, а праворуч — від'ємна.