ГДЗ до вправи 41.7 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 41.7
Подайте число 8 у вигляді суми двох таких невід’ємних чисел, щоб добуток одного із цих чисел і куба другого числа був найбільшим.
Розв'язок вправи № 41.7
Коротке рішення
1) Нехай перше число $x$, а друге — $y$. За умовою $x + y = 8$, звідси $x = 8 - y$. Оскільки числа невід'ємні, $y \in [0; 8]$.
2) Складемо функцію добутку: $f(y) = x \cdot y^3 = (8 - y)y^3 = 8y^3 - y^4$.
3) Знайдемо найбільше значення функції на відрізку $[0; 8]$. Похідна: $f'(y) = 24y^2 - 4y^3 = 4y^2(6 - y)$.
4) Критичні точки: $y = 0$ та $y = 6$. Обидві входять у проміжок.
5) $f(0) = 0$; $f(8) = 0$; $f(6) = (8 - 6) \cdot 6^3 = 2 \cdot 216 = 432$.
6) Найбільше значення досягається при $y = 6$. Тоді $x = 8 - 6 = 2$.
Відповідь: 2 і 6.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Це класична задача на оптимізацію. Ми виражаємо одну змінну через іншу, створюємо функцію однієї змінної та досліджуємо її на екстремуми за допомогою похідної. Теорія: Задачі на знаходження найбільших і найменших значень величин.
- Вибір змінної для піднесення до куба впливає на складність похідної. Зручніше виражати через ту змінну, яка підноситься до вищого степеня.
- Критична точка $y = 0$ не є точкою екстремуму, оскільки похідна не змінює знак при переході через неї (вона лише торкається осі).
- Точка $y = 6$ є точкою максимуму, оскільки ліворуч від неї похідна додатна, а праворуч — від'ємна.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.