ГДЗ до вправи 44.41 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{4 - x^2} < 2$

ОДЗ: $\begin{cases} 1 - x^2 \geqslant 0 \\ 4 - x^2 \geqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} |x| \leqslant 1 \\ |x| \leqslant 2 \end{cases} \Rightarrow x \in [-1; 1]$

Розв'яжемо рівняння $\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{4 - x^2} = 2$

$\sqrt{4 - x^2} = 2 - \sqrt{1 - x^2}$

$4 - x^2 = 4 - 4\sqrt{1 - x^2} + 1 - x^2$

$4\sqrt{1 - x^2} = 1$

$16(1 - x^2) = 1$

$1 - x^2 = \frac{1}{16} \Rightarrow x^2 = \frac{15}{16} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$

Нехай $f(x) = \sqrt{1 - x^2} + \sqrt{4 - x^2}$. $f(1) = \sqrt{3} < 2$; $f(0) = 1 + 2 = 3 > 2$.

Відповідь: $[-1; -\frac{\sqrt{15}}{4}) \cup (\frac{\sqrt{15}}{4}; 1]$.

• Визначаємо ОДЗ: обидва підкореневі вирази мають бути невід'ємними. Це обмежує $x$ відрізком $[-1; 1]$.
• Функція $f(x)$ на $[0; 1]$ складається з двох спадних функцій, отже, вона сама є строго спадною. У точці $x = 0$ вона дорівнює $3$, а в точці $x = 1$ дорівнює $\sqrt{3} \approx 1,73$.
• Оскільки функція спадає від $3$ до $\sqrt{3}$, значення, менші за $2$, знаходяться на кінці проміжку.
• Точне значення $x$, при якому вираз дорівнює $2$, знаходимо методом піднесення до квадрата. Через симетрію функції (парність) отримані точки $\pm \frac{\sqrt{15}}{4}$ стають межами інтервалів.