ГДЗ до вправи 44.47 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 44.47
Доведіть, що функція $f(x) = \cos (\sqrt{x})^2$ не є періодичною.
Розв'язок вправи № 44.47
Коротке рішення
$f(x) = \cos (\sqrt{x})^2$
Область визначення функції $D(f): x \geqslant 0$, тобто $D(f) = [0; +\infty)$.
За означенням періодичної функції, якщо число $T \ne 0$ є її періодом, то для будь-якого $x \in D(f)$ числа $(x - T)$ та $(x + T)$ також мають належати $D(f)$.
Нехай $T > 0$. Тоді для $x = 0$, що належить $D(f)$, число $x - T = -T$ не належить проміжку $[0; +\infty)$.
Отже, умова періодичності не виконується через обмеженість області визначення знизу.
Відповідь: доведено, що функція не є періодичною.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Періодичність функції вимагає, щоб її область визначення була необмеженою як вправо, так і вліво на відстань періоду $T$. Якщо область визначення має початок (як у випадку з коренем), така функція не може бути періодичною за означенням. Теорія: Означення періодичної функції.
- Функція $f(x) = \cos (\sqrt{x})^2$ тотожно дорівнює $\cos x$ лише для значень $x \in [0; +\infty)$.
- Хоча графік нагадує частину косинусоїди, відсутність значень для від'ємних $x$ порушує головну вимогу періодичності: неможливість "зсуву" всього графіка вліво без виходу за межі ОДЗ.
- Цей принцип застосовується до будь-якої функції, область визначення якої є променем або відрізком.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.