ГДЗ до вправи 44.84 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $-\frac{1}{2} < \cos x \leqslant \frac{1}{4}$

$x \in [\arccos \frac{1}{4} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n) \cup (-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; -\arccos \frac{1}{4} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$

---

2) $-2 < \operatorname{tg} x < 3$

$-\operatorname{arctg} 2 + \pi n < x < \operatorname{arctg} 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

---

3) $\frac{1}{3} \leqslant \sin x < \frac{1}{2}$

$x \in [\arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n) \cup (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; \pi - \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$

---

4) $-4 < \operatorname{ctg} x < 1,5$

$\operatorname{arcctg} 1,5 + \pi n < x < \pi - \operatorname{arcctg} 4 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

---

5) $|\operatorname{tg} x| < \sqrt{3} \Rightarrow -\sqrt{3} < \operatorname{tg} x < \sqrt{3}$

$-\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

---

6) $|\cos 2x| \geqslant \frac{1}{2} \Rightarrow \cos 2x \geqslant \frac{1}{2}$ або $\cos 2x \leqslant -\frac{1}{2}$

$-\frac{\pi}{3} + \pi n \leqslant 2x \leqslant \frac{\pi}{3} + \pi n \Rightarrow -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

• У першому та третьому пунктах нерівність визначає два симетричних проміжки на кожному періоді (один у першій/четвертій чверті, інший — у другій/третій).
• У другому та четвертому пунктах через монотонність тангенса та котангенса на періоді $\pi$, розв'язком є один неперервний інтервал.
• У п'ятому пункті модуль тангенса менше числа означає перебування значення тангенса в симетричному коридорі навколо нуля.
• У шостому пункті нерівність для модуля косинуса об'єднує умови перебування біля точок $0$ та $\pi$ на одиничному колі для аргументу $2x$.