ГДЗ до вправи 44.95 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 44.95
У якій точці графіка функції $y = x + \frac{3}{x}$ треба провести дотичну, щоб ця дотична перетнула вісь ординат у точці $(0; 6)$?
Розв'язок вправи № 44.95
Коротке рішення
Умова: $f(x) = x + \frac{3}{x}$, точка на осі $Oy$ — $(0; 6)$
$f'(x) = 1 - \frac{3}{x^2}$
Рівняння дотичної в $x_0$: $y = (1 - \frac{3}{x_0^2})(x - x_0) + x_0 + \frac{3}{x_0}$
Підставляємо $(0; 6)$: $6 = (1 - \frac{3}{x_0^2})(0 - x_0) + x_0 + \frac{3}{x_0}$
$6 = -x_0 + \frac{3}{x_0} + x_0 + \frac{3}{x_0} \Rightarrow 6 = \frac{6}{x_0} \Rightarrow x_0 = 1$
$y_0 = f(1) = 1 + \frac{3}{1} = 4$
Відповідь: $(1; 4)$
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Задача зводиться до використання загального рівняння дотичної $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. Оскільки відома точка, через яку проходить пряма, ми підставляємо її координати замість $x$ та $y$, щоб знайти невідому абсцису точки дотику $x_0$. Теорія: Геометричний зміст похідної.
- Знаходимо похідну функції $f'(x)$ та значення функції в точці $x_0$.
- Складаємо рівняння дотичної. Важливо не плутати змінні: $x$ та $y$ — це координати точок на прямій, а $x_0$ — шукана координата на графіку.
- Після підстановки координат точки перетину з віссю ординат ($x=0, y=6$), отримуємо просте рівняння відносно $x_0$.
- Знайшовши $x_0$, обов'язково обчислюємо відповідну ординату $y_0 = f(x_0)$, щоб отримати повні координати точки.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.