ГДЗ до вправи 44.97 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 44.97
Знайдіть проміжки зростання і спадання функції $f(x) = \operatorname{tg} x - 2x$.
Розв'язок вправи № 44.97
Коротке рішення
$f(x) = \operatorname{tg} x - 2x$
$D(f): x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 2$
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{1}{\cos^2 x} = 2 \Rightarrow \cos^2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
На $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$: $f'(x) > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}) \cup (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2})$; $f'(x) < 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$
Відповідь: зростає на $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{4} + \pi n]$ та $[\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$; спадає на $[-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Дослідження функції на монотонність проводиться за допомогою її похідної. Необхідно враховувати область визначення тангенса (точки розриву) та періодичність функції. Теорія: Застосування похідної до дослідження функцій.
- Знаходимо похідну функції $f'(x) = (\operatorname{tg} x)' - (2x)'$.
- Розв'язуємо рівняння $f'(x) = 0$, щоб знайти критичні точки. Оскільки косинус у квадраті, ми отримуємо значення $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
- Аналізуємо знак похідної на інтервалах між критичними точками та точками розриву. Оскільки функція періодична з періодом $\pi$, достатньо розглянути один такий проміжок.
- Там, де $f'(x) \geqslant 0$, функція зростає, а де $f'(x) \leqslant 0$ — спадає.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.